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{{about|英文为Convex function的函数|英文为Concave function的函数|凹函数}}

[[File:凸函数定义.png|替代=|缩略图|凸函数的圖像上任取兩點，連成的線段必在圖像上方。]]
[[Image:Grafico 3d x2+xy+y2.png|right|300px|thumb|二元二次[[多項式]]函數<math>(x, y) \mapsto x^2 + xy + y^2</math>的圖像，形如開口向上的碗。]]
'''凸函数'''（英文：Convex function）是指[[函数图形]]上，任意兩點連成的線段，皆位於圖形的上方的[[实函数|实值函数]]，<ref>{{Cite web|url=https://www.stat.cmu.edu/~larry/=stat705/Lecture2.pdf|title=36-705 Intermediate Statistics: Lecture Notes 2|trans-title=中級統計學：講義2|website=www.stat.cmu.edu|access-date=3 March 2017|language=en|archive-date=2021-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506221153/http://www.stat.cmu.edu/~larry/=stat705/Lecture2.pdf|dead-url=no}}</ref>如單變數的[[二次函数]]和[[指数函数]]。二階可導的一元函數<math>f</math>為凸，[[当且仅当]]其定義域為凸集，且函數的二階導數<math>f''</math>在整個定義域上非負。直觀理解，凸函數的圖像形如開口向上的杯<math>\cup</math>，而相反，[[凹函数]]則形如開口向下的帽<math>\cap</math>。

在[[最优化]]研究中，[[凸優化|凸函數的最小化]]問題有唯一性，即[[開集|凸開集]]上的嚴格凸函數，至多只有一個極小值。

[[概率论]]中，凸函數<math>f</math>作用在某[[随机变量]][[期望值]]<math>\mathbb E [X]</math>所得的結果，總不大於對隨機變量先取函數值再取期望，即
:<math>f(\mathbb E [X]) \le \mathbb E [f(X)],</math> 
稱為[[延森不等式]]。該不等式可以推導出[[算术-几何平均值不等式|均值不等式]]及[[赫尔德不等式]]等結果。

{{函数凹凸性注意事项}}

==定義==
[[File:Convex 01.ogg|thumb|right|形像理解凸函數與延森不等式]]

<math>C</math>為某[[實數|實]][[向量空間]]的[[凸集|凸子集]]，若[[实函数|实值函数]]<math>f: C \to \R</math> 對任意 <math>0 \leq t \leq 1</math>及任意<math>v,\,w\in C</math>，皆有
:<math>f\left[v+t\cdot(w-v)\right]
\leq
f(v) + t \cdot \left[f(w)-f(v)\right]</math>
則 <math>f</math> 稱為'''凸函数'''。

若 <math>C\subseteq\mathbb{R}</math> ，然後在 <math>f</math> 圖像上任取兩點<math>\left( x_1, f\left(x_1\right) \right)</math>和<math>\left( x_2, f\left(x_2\right) \right)</math> 連線，則連線上某點 <math>p</math> 的 <math>x</math> 座標可以想成從 <math>x_1</math> 出發，前進了 <math>x_2-x_1</math> 這整段的一部分而已，也就是說
:<math>0\leq
t=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}
\leq 1</math>
循著同樣的比例 <math>t</math> ，  <math>p</math> 的 <math>y</math> 座標就可以寫成
:<math>0\leq
t=\frac{y-f(x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}
\leq 1</math>
但同樣的 <math>x</math> 座標下，對應的 <math>f</math> 函數值就是
:<math>f\left[x_1+t\cdot(x_2-x_1)\right]</math>
所以，凸函數的定義意為，<math>f</math> 的圖像上，任意相異兩點的連線不能低於中間<math>f</math> 的曲線。<ref>{{Cite web|last=|first=|date=|title=Concave Upward and Downward|trans-title=上凸與下凸|url=https://www.mathsisfun.com/calculus/concave-up-down-convex.html|url-status=no|archive-url=https://web.archive.org/web/20131218034748/http://www.mathsisfun.com/calculus/concave-up-down-convex.html|archive-date=2013-12-18|access-date=|website=mathsisfun.com|language=en}}</ref>換言之，函數的{{Le|上境圖|Epigraph (mathematics)}}（圖像上方的點的集合）为[[凸集]]。

=== 严格凸函数 ===
若將定義的<math>\le </math>號換成<math> < </math>，則得到嚴格凸的定義： 

<math>f</math>稱為'''嚴格凸'''，意思是對<math>0 < t < 1</math>和任意不相等的<math>v,\,w\in C</math>，皆有
:<math>f\left[v+t\cdot(w-v)\right]
<
f(v) + t \cdot \left[f(w)-f(v)\right]</math>

若 <math>C\subseteq\mathbb{R}</math> ，在嚴格凸函數<math>f</math>的圖像曲線上，任意兩相異點的連線，除端點外皆高於曲線。

=== 几乎凸函数 ===

若 <math>C\subseteq\mathbb{R}</math>，[[实函数|实值函数]]<math>f: C \to \R</math> 對於任意三實數 <math>x\le z\le y</math> ，都有<math>f(z)\leq \max\{f(x),\,f(y)\}</math>，則稱 <math>f</math> 是'''幾乎凸'''的。

== 性质 ==

凸函數的某些性質，多元情況的敍述與一元情況同樣簡單。此種性質，可能僅於多元情況列舉，恕不在一元情況贅述。

=== 一元情況 ===
[[File:Convex supergraph.svg|right|thumb|函数（蓝色）是凸的，当且仅当其上方的区域（绿色）是一个[[凸集]]。]]
* 設<math>f</math>是一元[[實函數]]，[[定義域]]為[[區間]]。考慮[[割線]][[斜率]]<math display = "block">R(x_1, x_2) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1},</math>則函數<math>R</math>是[[對稱函數]]，即關於<math>R(x_1, x_2) = R(x_2, x_1)</math>。<math>f</math>為凸，當且僅當對每個固定的<math>x_2</math>，皆有<math>R(x_1, x_2)</math>關於<math>x_1</math>[[單調函數|單調不減]]（或由對稱性，可將此句中<math>x_1, x_2</math>互換）。此刻劃有助證明以下的結果。
* 若一元凸函数<math>f</math>定义在[[开区间]]<math>C</math>內，則在''C''内[[连续函数|连续]]，且處處有左側及右側的{{le|單邊可導|Semi-differentiability|單邊導數}}。如此定義的兩個單邊導函數，皆為[[单调函数|單調不減]]。由此推出，除[[可數集|可数]]个点外，<math>f</math>在其他点皆[[可微函数|可微]]（不過不可導的點組成的集合，仍有可能[[稠密集|稠密]]）。如果<math>C</math>是[[闭区间]]，那么<math>f</math>有可能在<math>C</math>的端点不连续，見[[#例子|例子]]。
* 一元[[可微]]函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的[[切线]]的上方：<ref name="boyd">{{cite book|title=Convex Optimization|trans-title=凸優化|first1=Stephen P.|last1=Boyd|first2=Lieven|last2=Vandenberghe|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83378-3|url=https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf#page=83|format=pdf|access-date=October 15, 2011|language=en|archive-date=2021-05-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210509212522/https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf#page=83|dead-url=no}}</ref>{{rp|69}}对于区间内的所有<math>x</math>和<math>y</math>，都有<math display=block>f(x) \geq f(y) + f'(y) (x-y).</math>特别地，如果<math>f'(y) = 0</math>，則上式化為<math>f(x) \ge f(y)</math>，故<math>f(y)</math>是<math>f</math>的[[最小值]]。
* 一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的[[导数]]在该区间上[[單調函數|单调不减]]。若一元函數既凸又可導，則其[[可微函数#连续可微的分类|導數也連續]]。
* 一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的[[二阶导数]]是非负的；这是判断某个函数是否凸的實用方法。直觀地，二階可導的凸函數「向上彎」，而不會屈向另一邊（即無[[拐点]]）。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但[[逆命題|反过来]]不成立。例如，<math>f(x) = x^4</math>的二阶导数是<math>f''(x)=12x^{2}</math>，当<math>x = 0</math>时为零，但<math>f</math>是严格凸的。
**此性質的條件「二階導數非負」與前一個性質的條件「導數單調不減」有差異。若<math>f''</math>在區間<math>C</math>非負，則的確<math>f'</math>在<math>C</math>單調不減。反之則不然，因為可能有<math>f'</math>在<math>C</math>單調不減，但在某點不可導，即<math>f''</math>在<math>C</math>中某點無定義。
* 若<math>f</math>為一元凸函數，且<math>f(0)\le 0</math>，則<math>f</math>在[[正數|正數集]]內為{{link-en|超可加|Superadditivity|超可加函數}}，即<math>f(a + b) \geq f(a) + f(b)</math>對任意正實數<math>a, b</math>成立。<!--英文此處有證明-->
<!--英文此處有中點凸與凸的關係，待修改定義後再譯-->

=== 多元情況 ===
更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的[[黑塞矩阵]]在凸集的内部是半[[正定矩阵|正定]]的。

凸函数的任何[[极小值]]也是[[最小值]]。严格凸函数最多有一个最小值。

对于凸函数''f''，[[水平子集]]{''x'' | ''f''(''x'') &lt; ''a''}和{''x'' | ''f''(''x'') ≤ ''a''}（''a'' ∈ '''R'''）是凸集。然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为''[[拟凸函数]]''。

[[延森不等式]]对于每一个凸函数''f''都成立。如果<math> X </math>是一个随机变量，在''f''的定义域内取值，那么<math>f(\mathbb E [X]) \le \mathbb E [f(X)],</math>（在这里，<math>E</math>表示[[数学期望]]。）

== 凸函數的初等運算 ==
*如果<math>f </math>和<math>g </math>是凸函數，那麼<math>m(x) = \max\{f(x),g(x) \} </math>和<math>h(x) = f(x) + g(x) </math>也是凸函數。
*如果<math>f </math>和<math>g </math>是凸函數，且<math>g</math>遞增，那麼<math>h(x) = g(f(x))</math>是凸函數。
*凸性在仿射映射下不變：也就是說，如果<math>f(x) </math>是凸函數（<math>x\in\mathbb{R}^n</math>），那麼<math>g(y) = f(Ay+b) </math>也是凸函數，其中<math>A\in\mathbb{R}^{n \times m},\; b\in\mathbb{R}^n.</math>
*如果<math>f(x,y) </math>在<math>(x,y) </math>內是凸函數，且<math>C </math>是一個凸的非空集，那麼<math>g(x) = \inf_{y\in C} f(x,y)</math>在<math>x </math>內是凸函數，只要對於某個<math>x </math>，有<math>g(x) > -\infty</math>。

== 例子 ==
* 函数<math>f(x)=x^2</math>处处有<math>f\,''(x)=2>0</math>，因此''f''是一个（严格的）凸函数。
* [[绝对值]]函数<math>f(x)=|x|</math>是凸函数，虽然它在点''x'' = 0没有导数。
* 当<math>p\geqslant 1</math>时，函数<math>f(x)=|x|^p</math>是凸函数。
* 定义域为[0,1]的函数''f''，定义为''f''(0)=''f''(1)=1，当0<''x''<1时''f''(''x'')=0，是凸函数；它在开区间(0,1)内连续，但在0和1不连续。
* 函数<math>f(x)=x^3</math>的二阶导数为<math>f\,''(x)=6x
</math>，因此它在''x'' ≥ 0的集合上是凸函数，在''x'' ≤ 0的集合上是[[凹函数]]。
* 每一个在<math>\mathbb{R}</math>内取值的[[线性变换]]都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果''f''是线性函数，那么<math>f(a + b) = f(a) + f(b)</math>。如果将“凸”替换为“凹”，该命题也成立。
* 每一个在<math>\mathbb{R}</math>内取值的[[仿射变换]]，也就是说，每一个形如<math>f(x) = a^T x + b </math>的函数，既是凸函数又是凹函数。
* 每一个[[范数]]都是凸函数，这是由于[[三角不等式]]。
* 如果<math>f </math>是凸函数，那么当<math>t > 0 </math>时，<math>g(x,t) = tf(x/t) </math>是凸函数。
*<math>f(x) = \sqrt x</math>和<math>g(x) = \log(x)</math>为[[单调函数|单调递增]]但非凸的函数。
* 函数''f''(''x'') = 1/''x''<sup>2</sup>，''f''(0)=+∞，在区间(0,+∞)内是凸函数，在区间(-∞,0)内也是凸函数，但是在区间(-∞,+∞)内不是凸函数，这是由于''x'' = 0处的奇点。

== 参见 ==

* [[凹函数]]
* [[凸集]]
* [[對數凸函數]]

== 参考文献 ==
<!--added under references heading by script-assisted edit-->
{{reflist}}
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  | accessdate = 2008-09-04
  | archive-date = 2008-04-20
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20080420125407/http://www.neng.usu.edu/classes/ece/7680/lecture2/node5.html
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  | last = Bertsekas
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* Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
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* Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.

{{Authority control}}

[[Category:各类函数]]
[[Category:凸分析]]
[[Category:广义凸性]]