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{{noteTA
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在[[群論]]中，'''凱萊定理'''（{{lang-en|Cayley's Theorem}}）聲稱所有[[群]] <math>G</math> 都與在 <math>G</math> 上的[[对称群 (n次对称群)|對稱群]] <math>S_G</math> 的一個[[子群]][[群同構|同構]]。這代表我們可以將 <math>G</math> 的[[群#正式定義|群運算]]視為在 <math>G</math> 的元素上的[[群作用]]。該定理以英國數學家[[阿瑟·凱萊]]命名。

集合 <math>G</math> 的[[置換]]是任何從 <math>G</math> 到 <math>G</math> 的[[雙射]][[函數]]。由所有置合構成集合與[[函數複合]]共同構成了一個群，稱為「 <math>G</math> 上的對稱群」，并記為 <math>\text{Sym}(G)</math>。

凱萊定理通過把任何群（包括無限群，如 <math>(\mathbb{R}, +)</math>）都當作某個底層集合的[[置換群]]，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對置換群成立的定理對於一般群也成立。

== 歷史 ==

Burnside<ref>{{Citation | last = Burnside | first = William | author-link = William Burnside | title = Theory of Groups of Finite Order | location = Cambridge | year = 1911 | edition = 2}}</ref>
將其歸功於Jordan<ref>{{Citation | last = Jordan | first = Camille | author-link = Camille Jordan | title = Traite des substitutions et des equations algebriques | publisher = Gauther-Villars | location = Paris | year = 1870}}</ref>，但是 
Eric Nummela<ref>{{Citation | last = Nummela | first = Eric | title = Cayley's Theorem for Topological Groups | journal = American Mathematical Monthly | volume = 87 | issue = 3 | year = 1980 | pages = 202-203}}</ref>爭論說這個定理的名字“凱萊定理”事實上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文<ref>{{Citation  | last = Cayley | first = Arthur | author-link = Arthur Cayley | title = On the theory of groups as depending on the symbolic equation θ<sup>n</sup>=1  | journal = Phil. Mag. | volume = 7 | issue = 4 | pages = 40-47 | year = 1854}}</ref>中證明了定理中的對應是一一對應，但是沒能明確的證明它是同態(因此是同構)。但是，Nummela提示大家注意凱萊讓當時的數學界知道了這個結果，因此比Jordan要提前了16年。

== 定理的證明 ==

令 <math>G</math> 為一個群，由[[逆元]]的唯一性可以得出對于任何 <math>G</math> 中元素 <math>g</math> ，有 <math>g \cdot G = G</math> ，以及 <math>gx = gy \iff x = y</math> 其中 <math>\iff</math> 是邏輯關係[[當且僅當]]的記號。所以左乘 <math>g</math> 充當了[[雙射]]函數 <math>f_g : G \rightarrow G</math> ，其定義為 <math>f_g(x) = g \cdot x</math>。所以， <math>f_g</math> 是 <math>G</math> 的置換，并因此是 <math>\text{Sym}(G)</math> 的一個元素。

如下定義 <math>\text{Sym}(G)</math> 的子集 <math>K</math>

: <math>K = \{f_g \mid g \in G; </math> 并且對所有<math> x \in G </math> 有 <math> f_g(x) = g \cdot x\}</math>

<math>K</math> 是同構於 <math>G</math> 的一個子群。得出這個結果的最快方式是考慮函數 <math>T : G \rightarrow \text{Sym}(G)</math> ， <math>T(g) = f_g</math> 。(對 <math>\text{Sym}(G)</math> 中的複合使用"·")， <math>T</math> 是一個[[群同態]]，這是因為所有 <math>G</math> 中的 <math>x</math> ，有

: <math> (f_g \cdot f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h \cdot x) = g \cdot (h \cdot x) = (g \cdot h) \cdot x = f_{g \cdot h}(x) </math>

: <math> T(g) \cdot T(h) = f_g \cdot f_h = f_{g \cdot h} = T(g \cdot h) </math>

同態 <math>T</math> 也是一個[[單射]]，因為 <math>T(g) = id_G</math> （<math>\text{Sym}(G)</math> 中的單位元）蘊含了對于所有 <math>G</math> 中使得 <math>g \cdot x = x</math> 的 <math>x</math> 。選取''x''為''G''的單位元''e''產生''g'' = ''g''*''e'' = ''e''。

另一個 <math>T</math> 為單射的證明是因為可以從 <math>g \cdot x = g \cdot x'</math> 推出 <math>x = x'</math> 。

因此 <math>G</math> 同構於 <math>T</math> 的像，即子群 <math>K</math> 。

<math>T</math> 有時叫做 <math>G</math> 的正規表示。

=== 另一个的證明 ===

另一个證明使用了[[群作用]]的概念。考慮群<math>G</math>為G-集合，可以證明它有置換表示<math>\phi</math>。 

首先假設<math>G=G/H</math>帶有<math>H=\{e\}</math>。則根據[[群作用|G-軌道分類]]這個群作用是<math>g.e</math>（也叫做軌道-穩定集定理）。

現在這個表示是忠实的，如果<math>\phi</math>是單射，就是說，如果<math>\phi</math>的核是平凡的。假設<math>g</math> ∈  ker <math>\phi</math>，則<math>g=g.e=\phi(g).e</math>，通過置換表示和群作用的等價性。但是因為<math>g</math> ∈  ker <math>\phi</math>, <math>\phi(g)=e</math>并因此ker <math>\phi</math>是平凡的。則im <math>\phi < G</math>并因此利用[[第一同構定理]]得出結論。

==對正規群表示的注記==

單位元對應於恒等置換。所有其他的群元素對應於不留下任何元素不變的置換。會因為這也適用於群元素的冪，小于這個元素的階，每個元素對應於由相同長度的環構成的置換：這個長度是這個元素的階。在每個環中的元素形成了這個元素生成的子群的左[[陪集]]。

==正規群表示的例子==

Z<sub>2</sub> = {0,1}帶有模2加法，群元素0對應於恒等置換e，群元素1對應於置換 (12)。

Z<sub>3</sub> = {0,1,2}帶有模3加法；群元素0對應於恒等置換e，群元素1對應於置換 (123)，而群元素2對應於置換 (132)。比如1 + 1 = 2對應於 (123)(123)=(132)。

Z<sub>4</sub> = {0,1,2,3}帶有模4加法；它的元素對應於e, (1234), (13)(24), (1432)。

[[克萊因四元群]]{e, a, b, c}的元素對應於e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S<sub>3</sub>（[[6階二面體群]]）是三個對象的所有置換的群，但也是6個群元素的置換群：

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! style="width: 1.5em; height: 1.5em;" | *
! style="width: 1.5em;" | ''e''
! style="width: 1.5em;" | ''a''
! style="width: 1.5em;" | ''b''
! style="width: 1.5em;" | ''c''
! style="width: 1.5em;" | ''d''
! style="width: 1.5em;" | ''f''
! 置換
|-
! style="height: 1.5em;" | ''e''
| ''e'' || ''a'' || ''b'' || ''c'' || ''d'' || ''f'' || ''e''
|-
! style="height: 1.5em;" | ''a''
| ''a'' || ''e'' || ''d'' || ''f'' || ''b'' || ''c'' || (12)(35)(46)
|-
! style="height: 1.5em;" | ''b''
| ''b'' || ''f'' || ''e'' || ''d'' || ''c'' || ''a'' || (13)(26)(45)
|-
! style="height: 1.5em;" | ''c''
| ''c'' || ''d'' || ''f'' || ''e'' || ''a'' || ''b'' || (14)(25)(36)
|-
! style="height: 1.5em;" | ''d''
| ''d'' || ''c'' || ''a'' || ''b'' || ''f'' || ''e'' || (156)(243)
|-
! style="height: 1.5em;" | ''f''
| ''f'' || ''b'' || ''c'' || ''a'' || ''e'' || ''d'' || (165)(234)
|}

== 引用 ==
<references/>

== 參見 ==
*[[米田引理]]
{{ModernAlgebra}}
[[Category:群論]]
[[Category:置换]]
[[Category:数学定理|K]]