查看“︁凱利公式”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
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[[File:Kelly bet.png|thumb|最佳凱利投注分數與其他分數投注的預期回報的示例。<!--Example of the optimal Kelly betting fraction, versus expected return of other fractional bets.-->]]
[[File:Kelly Criterion p=0.5.jpg|thumb|225x225px|該圖繪製了獲勝所獲得的金額（x軸）與下注（y軸）的投資組合比例。該圖假設p=0.5（勝敗均50%概率）。獲勝金額為1則凱利投注金額為0美元，這在沒有預期收益的公平投注是有意義的。<!--The figure plots the amount gained with a win on the x-axis against the fraction of portfolio to bet on the y-axis. This figure assumes p=0.5 (that the probability of both a win and a loss is 50%). If the amount gained with a win is 1, then the Kelly betting amount is $0, which makes sense in a fair bet with no expected gain.-->]]
[[File:Kelly Criterion p=0.6.jpg|thumb|該圖繪製了獲勝所獲得的金額（x軸）與下注（y軸）的投資組合比例。該圖假設p=0.6（勝率60%）。<!--The figure plots the amount gained with a win on the x-axis against the fraction of portfolio to bet on the y-axis. This figure assumes p=0.6 (that the probability of both a win is 60%).-->]]
[[File:Kelly Criterion 3D.jpg|thumb|最佳凱利下注大小（垂直軸）作為獲勝概率和獲勝金額的函數。<!--3D figure representing the optimal Kelly bet size (vertical axis) as a function of win probability and amount gained with win.-->]]

'''凱利公式'''、'''凱利方程'''、'''凱利判據'''、'''凱利策略'''（{{lang-en|Kelly criterion}}、{{lang|en|Kelly strategy}}、{{lang|en|Kelly bet}}），是一種根据赌博赢或输的概率，计算出每次下注的资金占所有赌本的最佳比例的公式<ref>书名: 《证券投资理论精要》 作者: 周朝鸿 当前第:182页</ref>，由[[約翰·拉里·凱利]]於1956年在《{{link-en|貝爾系統技術期刊|Bell System Technical Journal}}》中發表，可用以計算出每次遊戲中應投注的資金比例。除可將長期增長率最大化外，此方程式不允許在任何賭局中，有失去全部現有資金的可能，因此有不存在破產疑慮的優點。方程式假設貨幣與賭局可無窮分割，而只要資金足夠多，在實際應用上不成問題。

== 陳述 ==
凱利公式的最一般性陳述為，藉由尋找能最大化結果對數期望值的資本比例f*，即可獲得長期增長率的最大化。對於只有兩種結果的簡單賭局：要么輸掉所有注金，要么赢得注金乘以特定賠率，公式的一般性陳述为：
: <math>f^* = \frac{bp-q}{b} = \frac{p(b + 1) - 1}{b}, </math>

其中
* f<sup>*</sup>為現有資金應進行下次投注的比例；
* b為投注可得的賠率（不含本金）；
* p為獲勝率；
* q為落敗率，即1 - p；

舉例而言，若一賭博有60%的獲勝率（p = 0.6，q = 0.4），而且賭客在贏得賭局時，可獲得一赔一的賠率（b = 1），則賭客應在每次機會中下注現有資金的20%（f* = 0.2），以最大化資金的長期增長率。
如果赔率没有优势，即 b < q / p，公式的结果是负的，那么公式建议不下注。
如果赔率是负的，即b < 0，也就是暗示应该下注到另外一边。

凱利公式最初為AT&T貝爾實驗室物理學家[[約翰·拉里·凱利]]根據同僚[[克勞德·艾爾伍德·夏農]]於長途電話線雜訊上的研究所建立。凱利說明夏農的[[資訊理論]]要如何應用於一名擁有內線消息的賭徒在賭馬時的問題。賭徒希望決定最佳的賭金額，而他的內線消息不需完美（無雜訊），即可讓他擁有有用的優勢。凱利的公式隨後被夏農的另一名同僚[[愛德華·索普]]應用於二十一點和股票市場中。<ref name="Elwyn article">{{Cite web |url=http://www.americanscientist.org/template/BookReviewTypeDetail/assetid/47321;jsessionid=aaa9har2OmrE7K |title=American Scientist online: Bettor Math, article and book review by Elwyn Berlekamp |accessdate=2006-08-21 |archive-date=2006-07-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060711170006/http://www.americanscientist.org/template/BookReviewTypeDetail/assetid/47321;jsessionid=aaa9har2OmrE7K |dead-url=no }}</ref>

==證明==
凯利公式的目标是最大化资产的增长率，也即最大化[[对数]]资产的[[期望值]]。不失一般性，设开始时的资产是1，每次下注的比例为<math>f^*</math>，有<math>p</math>的概率会以<math>b</math>的赔率赢钱，这时资产变为<math>1+f^*b</math>。如果输了，资产就是<math>1-f^*</math>。因此资产的对数的期望值为
: <math>E = p\log(1+f^*b) + (1-p)\log(1-f^*)</math>
要找到最大化这个期望值的<math>f^*</math>，只需令<math>E</math>对<math>f^*</math>的导数值为零：
: <math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}f^*} = \frac{pb}{1+f^*b} - \frac{1-p}{1-f^*} = 0</math>
求解上述方程即得凯利公式
: <math>f^* = \frac{pb+p-1}{b}</math>
在凯利最初发表的论文中有着更一般而更严谨的证明<ref name="original Kelly article">{{Cite journal | last1 = Kelly | first1 = J. L. | authorlink1 = 約翰·拉里·凱利 | title = A New Interpretation of Information Rate | doi = 10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x | journal = Bell System Technical Journal | volume = 35 | issue = 4 | pages = 917–926 | year = 1956 | url = http://www.herrold.com/brokerage/kelly.pdf | pmid =  | pmc =  | access-date = 2019-04-20 | archive-date = 2019-04-27 | archive-url = https://web.archive.org/web/20190427080903/http://www.herrold.com/brokerage/kelly.pdf | dead-url = no }}</ref>。

==劣勢==
凯利公式原本是为了协助规划电子比特流量设计，后来被引用于赌二十一点上去，麻烦就出在一个简单的事实，二十一点并非商品或交易。赌二十一点时，可能会输的赌本只限于所放进去的筹码，而可能会赢的利润，也只限于赌注筹码的范围。但商品交易输赢程度是連續的，会造成资产或输赢有很大的震幅。

==較早的發現==
1738年[[丹尼尔·伯努利]]曾提出等價的觀點，可是伯努利的文章直到1954年才首次譯成英語。不過對於只投資一次的人來說，應選擇[[算術平均]]最高的投資組合。<ref name="Poundstone book article">William Poundstone, Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street, Hill and Wang, New York, 2005</ref>

==參考==
{{Reflist|2}}

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20130805154314/http://www.lucent.com/bstj/vol35-1956/articles/bstj35-4-917.pdf 論文原文]

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[[Category:博弈论]]
[[Category:投资组合理论]]