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{{numbers}}

在[[数系]]理论中，'''凯莱-迪克森构造'''以定义在实数集的[[代数结构]]为基础构造出新的代数系统序列。序列中每一个代数系统的[[维度]]都是其前一个的2倍。所有通过该过程产生的代数系统，即所谓的凯莱-迪克森代数系。它扩展了[[复数 (数学)|复数]]的概念，属于[[超复数]]的范畴。

'''凯莱-迪克森构造'''的代数系统中，都有[[范数]]和[[共轭复数|共轭]]的概念。从广义的概念上讲，集合中的一个元素和它的共轭的乘积等于它的范数的平方。

一个有趣的现象是，在凯莱-迪克森构造的代数系统序列中的每一个代数系统比起其前一个系统，除了有一个更高的维度数之外，都将失去前一个系统所拥有的一个特定性质。

==写为有序对的复数==
[[复数 (数学)|复数]]可以被写成[[实数]]''a''和''b''的[[有序对]](''a'',&nbsp;''b'')。同时加法运算为对应分量相加，乘法则定义为

: <math>(a, b) (c, d) = (a c - b d, a d + b c).\,</math>

一个第二分量为零的复数伴随着一个实数：复数(''a'',&nbsp;0)就是实数&nbsp;''a''。

另一个重要的复数运算是[[共轭复数|共轭]]。(''a'',&nbsp;''b'')的共轭(''a'',&nbsp;''b'')<sup>*</sup>如下给出

: <math>(a, b)^* = (a, -b).\,</math>

共轭具有性质

: <math>(a, b)^* (a, b)
  = (a a + b b, a b - b a) = (a^2 + b^2, 0),\,</math>

这是一个非负实数。这样，共轭定义了一个“[[范数]]”，使复数成为了实数域上的[[赋范线性空间]]：复数&nbsp;''z''的范数为

: <math>|z| = (z^* z)^{1/2}.\,</math>

此外，对于任何非零复数&nbsp;''z''，共轭给出一个[[逆元|乘法逆元]]

: <math>z^{-1} = {z^* / |z|^2}.\,</math>

既然复数由两个独立的实数组成，则全体复数构成实数域上的[[线性空间]]。

此外，作为较高维的数，复数可以说比实数缺少了一个代数性质：一个实数的共轭是其自身。

==四元数==
{{main|四元數}}
构造的下一步是推广乘法和共轭。

复数<math>a</math>和<math>b</math>的有序对<math>(a, b)</math>的乘法定义为

: <math>(a, b) (c, d)
  = (a c - d^* b, d a + b c^*).\,</math>

公式中的细微变化是合理的；构造的结果是产生在忽略基的记号下是同一的结构。

因子的次序似乎很奇怪，但对于下一步意义重大。
定义<math>(a, b)</math>的共轭<math>(a, b)^*\,</math>

: <math>(a, b)^* = (a^*, -b).\,</math>

这些符号是它们在复数情况下的直接推广：如果<math>a</math>和<math>b</math>是从复数集的实数子集中选取，则共轭在公式中的表现没有影响，所以这些运算和在复数下一样。

一个元素和它的共轭之积为非负实数：

: <math>(a, b)^* (a, b)
  = (a^*, -b) (a, b)
  = (a^* a + b^* b, b a^* - b a^*)
  = (|a|^2 + |b|^2, 0 ).\,</math>

同之前一样，共轭运算产生了一个范数和任一有序对的逆。所以在前述情况下，这些有序对组成了一个有些像实数的代数。它们被称为四元数，由[[威廉·哈密顿]]于1843年命名。

由于四元数由独立的两个复数组成，它们构成实数域上的4维线性空间。

四元数的乘法并不完全和实数相同。它是非[[交换律|交换]]的，也就是说如果<math>p</math>和<math>q</math>是四元数，并不总能得到<math>p q = q p</math>。

==八元数==
{{main|八元数}}
从这里开始，所有步骤看起来是一样的。

这次，四元数<math>p</math>和<math>q</math>的有序对<math>(p, q)</math>的乘法和共轭定义如同四元数一样：

: <math>(p, q) (r, s)
  = (p r - s^* q, s p + q r^*).\,</math>

然而，注意到四元数是非[[交换律|交换]]的，因子在乘法公式中的次序变得很重要——如果最后一个因子是<math>r^*q</math>而不是<math>qr^*</math>，从一个元素与其共轭的积的公式得不到一个实数。

由与之前完全一样的原因，共轭运算产生了一个范数和任一非零元的逆。

这个由[[约翰·格雷夫斯]]在1843年描述的代数被称为[[八元数]]或者“[[凯莱]]数”。

由于八元数由独立的两个四元数组成，它们构成实数域上的8维线性空间。

八元数的乘法比四元数还要奇怪。除了非交换，它还是非[[结合]]的：如果<math>p</math>, <math>q</math>和<math>r</math>都是八元数，则并不总能得到
:<math>(p q) r = p (q r).\ </math>

==进一步的代数==
紧接着八元数的代数是[[十六元數]]。它保留了一个叫[[幂结合性]]的代数性质：如果<math>s</math>是一个十六元数，则<math>s^n s^m = s^{n + m}</math>。但失去了作为[[交错代数]]的性质，从而不再是[[合成代数]]。

凯莱-迪克森构造能继续进行下去，產生如[[三十二元數]]、[[六十四元數]]等代數結構，每一步产生一个幂结合代数，其维数为前一步产生的代数的两倍。

==一般凯莱-迪克森构造==
{{harvtxt|Albert|1942|p= 171}}给出一个略为一般化的结论。''A''是一个带[[对合]]的代数，定义''B''=''A''&oplus;''A''上的积和对合为

: <math>(p, q) (r, s)
  = (p r - \gamma s^* q, s p + q r^*)\,</math>
:<math>(p, q)^* = (p^*, -q)\ </math>

这里&gamma;为一个和*以及左乘右乘可交换的加性映射。（在实数上&gamma;的所有选择等价于&minus;1,0或1）
在这种构造中，''A''是一个带[[对合]]的代数，意味着：
*''A''对于+是阿贝尔群。
*''A''有一个适合对+的左右分配律的乘法。
*''A''有一个对合*，这里''x''** = ''x'', (''x''+''y'')* = ''x''*+''y''*,  (''xy'')* =''y''*''x''*。
由凯莱-迪克森构造生成的代数''B''=''A''&oplus;''A''仍然是带[[对合]]的代数。

''B''继承自''A''而未改变的性质有
*若''A''有单位元1<sub>''A''</sub>，则''B''有单位元(1<sub>''A''</sub>, 0)。
*若''A''有性质''x''+''x''<sup>*</sup>、 ''xx''<sup>*</sup>与所有元素结合且交换，则''B''也有此性质。这一性质意味着任何元素引起一个交换、结合的*-代数，特别的，该代数满足幂结合性。

''A''的其他性质仅诱导出''B''的较弱性质：
*若''A''是交换的并具有平凡对合，则''B''是交换的。
*若''A''是交换的和结合的，则''B''是结合的。
*若''A''是结合的，''x''+''x''<sup>*</sup>、 ''xx''<sup>*</sup>与所有元素结合且交换，则''B''是交错的。

==参考资料==
*{{Citation | last1=Albert | first1=A. A. | title=Quadratic forms permitting composition | url=http://www.jstor.org/stable/1968887 | id={{MathSciNet | id = 0006140}} | year=1942 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=43 | pages=161–177 | doi=10.2307/1968887 | issue=1 | accessdate=2011-01-04 | archive-date=2016-03-24 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160324103940/http://www.jstor.org/stable/1968887 | dead-url=no }} (see p. 171)
* {{Citation | last1=Baez | first1=John | author1-link=John Baez | title=The Octonions | url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/octonions.html | year=2002 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=39 | pages=145–205 | doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X | access-date=2011-01-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20090421054044/http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/octonions.html | archive-date=2009-04-21 | dead-url=yes }}. ''(See "[http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html Section 2.2, The Cayley-Dickson Construction]{{Wayback|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html |date=20150326133405 }}")''
*{{Citation | last1=Dickson | first1=L. E. | author1-link=Leonard Dickson | title=On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem | url=http://www.jstor.org/stable/1967865 | publisher=Annals of Mathematics | series=Second Series | year=1919 | journal=[[Annals of Mathematics]] | issn=0003-486X | volume=20 | issue=3 | pages=155–171 | doi=10.2307/1967865 | accessdate=2011-01-04 | archive-date=2016-10-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20161006020828/https://www.jstor.org/stable/1967865 | dead-url=no }}
* {{Citation | last1=Kantor | first1=I. L. | last2=Solodownikow | first2=A. S. | title=Hyperkomplexe Zahlen | publisher=B.G. Teubner | location=Leipzig | year=1978}}
* {{Citation | last1=Hamilton | first1=William Rowan | author1-link=William Rowan Hamilton | title=On Quaternions | url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Quatern2/Quatern2.html | year=1847 | journal=Proceedings of the Royal Irish Academy | issn=1393-7197 | volume=3 | pages=1–16 | accessdate=2011-01-04 | archive-date=2010-12-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20101218114732/http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Quatern2/Quatern2.html | dead-url=no }}

==外部链接==
* Hyperjeff, ''[https://web.archive.org/web/20030211033505/http://history.hyperjeff.net/hypercomplex.html Sketching the History of Hypercomplex Numbers]'' (1996-2006).

[[Category:超复数]]