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[[File:Triangle.Centroid.svg|thumb|三角形的中心]] 
''n'' [[维数|维]][[空间]]中一个对象'''''X'''''的'''几何中心'''或'''形心'''是将'''''X'''''分成[[動差|矩]]相等的两部分的所有[[超平面]]的交点。非正式地说，它是'''''X'''''中所有点的[[平均]]。如果一個物件質量分佈平均，形心便是'''重心'''。

如果一个对象具有一致的[[密度]]，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和[[質心|质量中心]]重合，该条件是[[充分必要条件|充分]]但不是[[充分必要条件|必要]]的。

有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个[[坐标]]分量的[[算术平均数|算术平均值]]得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一[[最小值]]点。点集的几何中心在[[仿射变换]]下保持不变。

==性質==
一个[[凸集|凸]]对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或[[碗]]的几何中心不在内部。

== 三角形的中心 ==
{| style="float:right;"  border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"
|- 
|
|}
'''形心'''是[[三角形]]的幾何中心，是指三角形的三條[[中线]]（[[頂點 (幾何)|頂點]]和對邊的[[中點]]的連線）交點<ref>[[幾何原本]]ISBN 957-603-016-1</ref>。

===三條中線共點證明===
[[File:Triangle.Centroid.Median.png|thumb|270x270像素|三條[[中線]]共點證明]]

用[[塞瓦定理]]逆定理可以直接證出：
:<math>\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB}=\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1}=1</math>
因此三線共點。<ref>幾何明珠ISBN 957-603-197-4</ref>

中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的1/3。如右图所示：

如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是[[質心|质量中心]]。它的[[笛卡尔坐标系|笛卡尔坐标]]是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于<math>(x_a, y_a)</math>，<math>(x_b, y_b)</math>，和<math>(x_c, y_c)</math>，那么几何中心位于：

:<math>\Big(
  \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a+x_b+x_c),\;
  \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (y_a+y_b+y_c)\Big) 
= \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a, y_a)
+ \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_b, y_b)
+ \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_c, y_c)</math>
{| style="float:right;" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"
|- 
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|}
=== 中心分中线为2:1的证明===
设三角形''ABC''的中线''AD''，''BE''和''CF''交于三角形的中心''G''，延长''AD''至点''O''使得
:<math> AG = GO. \,</math>

那么三角形''AGE''和''AOC'' [[相似三角形|相似]]（公共角''A''，''AO'' = 2 ''AG''，''AC'' = 2 ''AE''），所以''OC''平行于''GE''。但是''GE''是''BG''的延长，所以''OC''平行于''BG''。同样的，''OB''平行于''CG''。

从而图形''GBOC''是一个[[平行四边形]]。因为平行四边形对角线互相平分，对角线''GO''和''BC''的交点使得''GD'' = ''DO''，这样 

: <math> GO = GD + DO = 2GD. \,</math>

所以，<math> AG = GO = 2GD\,</math>，或<math> AG:GD = 2: 1\,</math>，这对任何中线都成立。

=== 性質 ===
* 三角形的重心與三頂點連線，所形成的三個三角形面積相等。
* 頂點到重心的距離是[[中線]]的<math>\tfrac{2}{3}</math>。
* [[外接圓|外心]]<math>O</math>、重心<math>G</math>、[[九點圓圓心]]<math>F</math>、[[高线|垂心]]<math>H</math>四點依次序共線，其中<math>OG:GF:FH=2:1:3</math>，此線稱為[[歐拉線]]。
* [[内切圆|內心]]<math>I</math>、重心<math>G</math>、斯俾克心<math>S</math>、[[奈格爾點]]<math>N</math>四點依次序共線，其中<math>IG:GS:SN=2:1:3</math>，此線稱為奈格爾線。
* 三角形的重心同時也是[[中點三角形]]的重心。
*在[[直角座標系]]中，若頂點的[[座標]]分別為<math>(x_1,y_1)</math>、<math>(x_2,y_2)</math>、<math>(x_3,y_3)</math>，則重心的座標為：
:<math>\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)</math>
*[[三線坐標]]中、重心的座標為：
:<math>bc : ca : ab = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = \csc A : \csc B : \csc C</math>
*[[重心坐標]]中、重心的座標為：
:<math>1 : 1 : 1</math>
*三角形的重心的[[等截共轭]]点也是三角形重心自己。
*三角形的重心的[[等角共轭]]点称为[[类似重心]]。

== 四面体的中心==
类似三角形的中心的结论对[[四面体]]也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何<math>n</math>-维[[单形]]。如果单形的顶点集是<math>{v_0,...,v_n}</math>，将这些顶点看成[[向量]]，几何中心位于：
:<math>\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i \; .</math>

== 多边形的中心 ==
一个由N个顶点''（x<sub>i</sub> , y<sub>i</sub>）''确定的不自交闭多边形的中心能如下计算：<ref>{{Cite web |url=http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/polyarea/ |title=Calculating the area and centroid of a polygon |accessdate=2008-10-16 |archive-date=2008-10-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081016170216/http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/polyarea/ |dead-url=yes }}</ref> 

记号''（ x<sub>N</sub> , y<sub>N</sub>）''与顶点''（ x<sub>0</sub> , y<sub>0</sub>）''相同。多边形的面积为：

: <math>A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>

多边形的中心由下式给出：

: <math>C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>

: <math>C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)</math>

== 有限点集的中心 ==
给定有限点集  <math>x_1,x_2,\ldots,x_k</math>属于<math>\mathbb{R}^n</math>，它们的中心定义<math>C</math>为
:<math>C = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}</math>。

== 面积中心 ==
面积中心和[[質心|质量中心]]非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。<ref>{{Cite web |url=http://www.efunda.com/math/areas/Centroid.cfm |title=Area Centroid |accessdate=2008-10-16 |archive-date=2008-10-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081020040307/http://www.efunda.com/math/areas/Centroid.cfm |dead-url=no }}</ref>

对于两部分组成的图形，将有如下等式：
: <math> \overline{y} = \dfrac{\overline{y_1}A_1 + \overline{y_2}A_2}{A_1 + A_2}</math>

<math>\overline{y}</math>是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。<math>A</math>是特定部分的面积。

当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：

: <math> \overline{x} = \frac{\sum \overline{x_i}A_i}{\sum A_i}</math>

: <math> \overline{y} = \frac{\sum \overline{y_i}A_i}{\sum A_i}</math>

这里从''y''-轴到中心的距离是<math>\overline{x}</math>，从''x''-轴到中心的距离是<math>\overline{y}</math>，中心的坐标是<math>(\overline{x} , \overline{y})</math>。

== 积分公式 ==
一个平面图形的中心的[[横坐标]]（''x''轴）由积分

:<math>C_x = \frac{\int x f(x) \; dx}{\int f(x) \; dx}</math>给出。

这里''f''（''x''）是对象位于在横坐标''x''点''y''轴上的长度，是在''x''图形的测度。这个公式能由区域关于''y''-轴的[[第一矩]]得出。

这个过程等价于取加权平均。假设''y''-轴表示频率，''x''-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着''x''-轴的中心即  <math>\bar{x}</math>。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。

对任意维数''n''，由相同的公式得出<math>\R^n</math>中一个对象的中心第一个坐标，假设''f (x)''是对象在坐标''x''的截面（也就是说，对象中第一个坐标为''x''的所有点的集合）的（''n''-1）-维测度。

注意到分母恰是对象的''n''- 维测度。特别的，在''f''为正规时，即分母为1，中心也称为''f''的[[平均]]。

当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。

==圆锥和棱锥的中心==
圆锥或棱锥的中心位于连接[[頂點 (幾何)|顶点]]和底的中心的线段上，分比为3:1。

==对称中心==
如果中心确定了，那么中心是所有它[[对称群]]的[[不动点]]。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有[[传递对称]]性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。

==地理中心==
[[地理学]]中，[[地球]]表面一个区域的几何中心也称为[[地理中心]]。

== 参见 ==
* [[重心列表]]
* [[帕普斯中心定理]]
* [[K-平均算法]]
* [[中點]]
* [[外心]]
* [[內心]]
* [[垂心]]
* [[奈格爾點]]
* [[类似中线]]
* [[歐拉線]]
* [[西瓦定理]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
*[https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html ''Encyclopedia of Triangle Centers''] by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
* [http://agutie.homestead.com/files/Trianglecenter.html Triangle centers]{{Wayback|url=http://agutie.homestead.com/files/Trianglecenter.html |date=20081102172135 }} by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
* [http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml Characteristic Property of Centroid]{{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml |date=20110817175528 }} at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/triangle/barycenter.shtml Barycentric Coordinates]{{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/barycenter.shtml |date=20110817185024 }} at [[cut-the-knot]]
* [http://www.thinkanddone.com/ge/Centroid.html Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x) ]{{Wayback|url=http://www.thinkanddone.com/ge/Centroid.html |date=20081006070629 }}
* Interactive animations showing [http://www.mathopenref.com/trianglecentroid.html Centroid of a triangle]{{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/trianglecentroid.html |date=20110819011302 }} and [http://www.mathopenref.com/constcentroid.html Centroid construction with compass and straightedge]{{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/constcentroid.html |date=20110819010208 }}

{{三角形的特殊点}}
[[Category:仿射几何]]
[[Category:三角形几何]]
[[Category:平均数]]