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在數學中，尤其是[[代數幾何]]與[[複流形|複流形理論]]裡，'''凝聚層'''是一類特別容易處理的[[層 (數學)|層]]。凝聚層的定義指涉到一個'''環層'''（例如一個概形的結構層、複流形上的全純函數層或 [[D-模]]），此環層蘊藏了所論空間的幾何性質。相關的概念還有'''擬凝聚層'''與'''有限展示層'''。代數幾何與複解析幾何裡的許多性質與定理都以凝聚層及其[[上同調]]表述。

凝聚層可被視作[[向量叢]]截面層的推廣。它們構成的範疇在取核、上核、有限直和等操作下封閉。此外，若底空間滿足合宜的緊緻條件，則凝聚性在底空間的映射下保持不變，且具有有限維的[[層上同調]]群。[[交換代數]]裡的一些定理也能應用於凝聚層，如[[中山正引理]]。

==定義==

一個'''凝聚層'''是[[賦環空間]]<math>(X, \mathcal{O}_X)</math>上的一個<math>\mathcal{O}_X</math>-模 <math>\mathcal{F}</math>，滿足下述性質：

# <math>\mathcal{F}</math> 在<math>\mathcal{O}_X</math>上是'''有限型'''的，即：對任一點<math>x\in X</math>，存在其鄰域<math>U\subset X</math>使得 <math>\mathcal{F}|_U</math> 可由有限多個截面生成（換言之，存在正合序列<math>\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{F}|_U \to 0</math>）。
# 對任意開集 <math>U\subset X</math>，任意 <math>n\in\mathbb{N}</math>及任意<math>\mathcal{O}_X</math>-模的態射<math>\phi\colon \mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{F}|_U</math>，其核是有限型的。

環層<math>\mathcal{O}_X</math>是凝聚層若且唯若它自身作為一個<math>\mathcal{O}_X</math>-模是個凝聚層。

凝聚層必定是'''有限展示'''的：即對任一點<math>x \in X</math>都存在其開鄰域<math>U</math>、正整數<math>m,n</math>以及一個正合序列：

<math>\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{O}_X^m|_U \to \mathcal{F}|_U \to 0</math>

反之則不然，除非要求<math>\mathcal{O}_X</math>是凝聚環層。

'''擬凝聚層'''的定義更弱：我們僅要求對任一點<math>x \in X</math>都存在開鄰域<math>U</math>，索引集<math>I,J</math>（可能是無限集）及一個正合序列：
<math>\mathcal{O}_X^I|_U \to \mathcal{O}_X^J|_U \to \mathcal{F}|_U \to 0</math>

==基本性質==

對一個[[仿射簇]]<math>X = \mathrm{Spec}(R)</math>，<math>\mathcal{F} \mapsto \Gamma(X,\mathcal{F})</math>給出從擬凝聚層到 <math>R</math>-模的範疇等價；若<math>R</math>是諾特環，則凝聚層恰對應至有限生成的<math>R</math>-模。

凝聚層的概念較[[局部自由層]]（換言之，向量叢的截面層）廣，但仍然很容易操作，這在考慮核與上核時特別有利，因為局部自由層在這些操作下並不封閉。形式地說：給定一個短正合序列，只要其中任兩個層是凝聚層，則令一個也必然是凝聚層；在<math>\mathcal{O}_X</math>-模的範疇裡，凝聚層是滿足上述條件並包含<math>\mathcal{O}_X</math>的最小滿範疇。因此就同調代數的觀點看，凝聚層是最自然的範疇之一。

==凝聚層的例子==
* [[諾特概形]]的結構層
* 向量叢的截面層
* '''理想層'''：若<math>X</math>是[[複解析空間]]而<math>Z</math>是其閉子空間，令<math>\mathcal{I}_Z</math>表所有在<math>Z</math>上消沒的全純函數，稱作<math>Z</math>在<math>X</math>裡的理想層，則<math>\mathcal{I}_Z</math>是凝聚層。對諾特概形及其閉子概形亦同。
* 閉子空間的結構層
* 複流形<math>X</math>上的微分算子環<math>\mathcal{D}_X</math>，這是個非交換的環層。

==凝聚上同調==
凝聚層的層上同調理論稱作'''凝聚上同調'''，這是層論最大也最有效的應用之一，其結果可用以詮釋古典的代數幾何及複流形理論，其證明卻更簡潔明快。

基於 Schwartz 先前的工作，[[昂利·嘉當]]與[[讓-皮埃爾·塞爾]]證明了緊複流形上的凝聚上同調是有限維的，[[小平邦彥]]先前曾證明了向量叢的情形。當時這套理論的用處還不甚明朗。塞爾證明了這個定理的代數版本。[[亞歷山大·格羅滕迪克]]證明了一個代數框架下的相對版本，解析版本則由 Grauert 與 Remmert 證出。舉例明之：格羅滕迪克的結果是考慮函子<math>R^{\cdot}f_*</math>（這是層的[[正像]]函子的右[[導函子]]）； 若<math>f</math>是概形間的[[真態射]]，則此函子保持凝聚性。取<math>f</math>為一個<math>k-</math>[[射影概形]]到<math>\mathrm{Spec}(k)</math>的態射，便得到塞爾先前的結果。

==文獻==
* Hans Grauert, Reinhold Remmert, ''Coherent Analytic Sheaves''. Springer-Verlag, Berlin 1984. ISBN 3-540-13178-7<br />Allgemeines: Anhang,&nbsp;§3; Kohärenz der Strukturgarbe: Kap.&nbsp;2,&nbsp;§5; direkte Bilder: Kap.&nbsp;10,&nbsp;§4
* Alexander Grothendieck|A. Grothendieck, Jean Dieudonné|J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. ''Publications mathématiques de l'IHÉS'' 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)<br />Allgemeines: 0<sub>I</sub>,&nbsp;5.3; direkte Bilder: III, 3.2

[[Category:代數幾何|N]]
[[Category:层论]]