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[[地轉風|地转运动]]是指由[[科里奥利力]]和水平[[壓強梯度力|压力梯度力]]之间的精确平衡产生的风， <ref>Phillips, N.A. (1963). “Geostrophic Motion.” Reviews of Geophysics Volume 1, No. 2., p. 123.</ref>'''准地转 (QG) 运动'''是指科里奥利力和压力梯度力''几乎''平衡的流动，但并不能排除[[慣性|惯性]]的影响。 <ref>Kundu, P.K. and Cohen, I.M. (2008). Fluid Mechanics, 4th edition. Elsevier., p. 658.</ref>

== 起源 ==
大气和海洋流动发生在水平长度尺度上，远大于垂直长度尺度，因此可以使用浅水方程来描述。[[罗斯贝数]]是一个[[无量纲量|无量纲数]]，它与科里奥利力的强度相比，表征惯性强度。准地转方程是小罗斯贝数极限下浅水方程的近似，因此惯性力比科里奥利力和压力小一个[[数量级]]。如果罗斯贝数等于 0，则准地转方程成为精确的地转方程。

准地转方程首先由[[儒勒·格雷戈里·查尼|儒勒·查尼]]提出。 <ref>{{Cite book|last=Majda|first=Andrew|last2=Wang|first2=Xiaoming|title=Nonlinear Dynamics and Statistical Theories for Basic Geophysical Flows|date=2006|publisher=Cambridge University Press|page=3|url=https://books.google.com/books?id=b3rBY0tnGa0C&pg=PA3|isbn=978-1-139-45227-4}}</ref>

== 单层 QG 方程的推导 ==
在笛卡尔坐标中，[[地轉風|地转风]]的分量是

: <math> {f_0} {v_g} = {\partial \Phi \over \partial x}</math> (1a)
: <math> {f_0} {u_g} = - {\partial \Phi \over \partial y}</math> (1b)

其中<math> {\Phi} </math>是[[位势高度]]。

地转涡度

: <math> {\zeta_g} = {\hat{\mathbf{k}} \cdot \nabla \times \mathbf{V_g}}</math>

因此可以用位势高度表示为

: <math> {\zeta_g} = {{\partial v_g \over \partial x} - {\partial u_g \over \partial y} = {1 \over f_0} \left({ {\partial^2 \Phi \over \partial x^2} + {\partial^2 \Phi \over \partial y^2}}\right) = {1 \over f_0}{\nabla^2 \Phi}} </math> (2)

式（2）可用于从已知位势高度场<math>{\Phi (x,y)}</math> 找到<math>{\zeta_g (x,y)}</math>。也可以通过反转[[拉普拉斯算子]]从已知分布<math>{\zeta_g}</math>来确定<math>{\Phi}</math>。

准地转涡度方程可由下式得到<math>{x}</math>和<math>{y}</math>准地转动量方程的分量，然后可以从水平动量方程导出：

: <math>{D\mathbf{V} \over Dt} + f \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V} = - \nabla \Phi</math> (3)

式（3）中的[[物質導數|物质导数]]定义为

: <math> {{D \over Dt} = {\left({\partial \over \partial t}\right)_p} + {\left({\mathbf{V} \cdot \nabla}\right)_p} + {\omega {\partial \over \partial p}}} </math> (4)
: 其中<math> {\omega = {Dp \over Dt}} </math>是运动后的压力变化。

水平速度<math> {\mathbf{V}} </math>可以分为地转部分<math>{\mathbf{V_g}}</math>和非地转部分<math> {\mathbf{V_a}} </math>

: <math> {\mathbf{V} = \mathbf{V_g} + \mathbf{V_a}} </math> (5)

准地转近似的两个重要假设是

:: 1. <math>{\mathbf{V_g} \gg \mathbf{V_a} }</math> ，或者，更准确地说<math>{{|\mathbf{V_a}| \over |\mathbf{V_g}|}} \sim O(\text{罗 斯 贝 数 })</math> .
:: 2. β平面近似：<math>{f = f_0 + \beta y}</math>, <math>{\frac{\beta y}{f_0} \sim O(\text{罗 斯 贝 数 })}</math>

第二个假设证明，在地转近似中，让科里奥利参数具有恒定值<math>{f_0}</math>是合理的，并通过<math>{f_0 + \beta y}</math>近似其在科里奥利力项中的变化 。 <ref name="autogenerated1">Holton, J.R. (2004). Introduction to Dynamic Meteorology, 4th Edition. Elsevier., p. 149.</ref>但是，由于运动后的加速度（在（1）中作为科里奥利力和压力梯度力之间的差值给出）取决于实际风与地转风的偏离，因此不允许简单地替换科里奥利力这一项中的地转速度。 <ref name="autogenerated1" /> （3）式中的加速度可以重写为

: <math>{f \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V} + \nabla \Phi} = {(f_0 + \beta y)\hat{\mathbf{k}} \times (\mathbf{V_g} + \mathbf{V_a}) - f_0 \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V_g}} = {f_0 \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V_a} + \beta y \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V_g} } </math> (6)

因此，近似水平动量方程具有形式

: <math>{D_g \mathbf{V_g} \over Dt} = {-f_0 \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V_a} - \beta y \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V_g}}</math> (7)

用其分量表达方程（7），

: <math>{{D_g u_g \over Dt} - {f_0 v_a} - {\beta y v_g} = 0}</math> (8a)

: <math>{{D_g v_g \over Dt} + {f_0 u_a} + {\beta y u_g} = 0}</math> (8b)

我们进行<math>{{\partial (8b) \over \partial x} - {\partial (8a) \over \partial y}}</math>，并注意到地转风是无辐散的（即 <math>{\nabla \cdot \mathbf{V} = 0}</math>)，可得涡量方程为

: <math>{{D_g \zeta_g \over Dt} = - f_0 \left ({{\partial u_a \over \partial x}+{\partial v_a \over \partial y}} \right) - \beta v_g }</math> (9)

因为<math>{f}</math>只取决于<math>{y}</math> （亦即<math>{{D_g f \over Dt} = \mathbf{V_g} \cdot \nabla f = \beta v_g}</math>) 并且地转风的散度基于连续性方程可以写成含<math>{\omega}</math>的形式：

: <math>{{\partial u_a \over \partial x}+{\partial v_a \over \partial y}+{\partial \omega \over \partial p}=0}</math>

因此式 (9) 可以化为

: <math>{{\partial \zeta_g \over \partial t} = {-\mathbf{V_g} \cdot \nabla ({\zeta_g + f})} - {f_0 {\partial \omega \over \partial p}} }</math> (10)

=== 引入位势倾向 ===
定义位势倾向<math>{\chi = {\partial \Phi \over \partial t}}</math>，并且注意到偏微分可能被反转，等式（10）可以重写为<math>{\chi}</math>的关系式

: <math>{{1 \over f_0}{\nabla^2 \chi} = {-\mathbf{V_g} \cdot \nabla \left({{1 \over f_0}{\nabla^2 \Phi} + f} \right)} + {f_0 {\partial \omega \over \partial p}}}</math> (11)

等式（11）的右侧取决于变量<math>{\Phi}</math>和<math>{\omega}</math> .依赖于这两个变量的类比方程可以从热力学能量方程导出

: <math>{{{ \left ({{\partial \over \partial t} + {\mathbf{V_g} \cdot \nabla}} \right) \left({-\partial \Phi \over \partial p} \right)}-\sigma \omega}={kJ \over p}}</math> (12)

其中<math>{\sigma = {-R T_0 \over p}{d \log \Theta_0 \over dp}}</math>和<math>{\Theta_0}</math>是对应于基态温度的位温。在对流层中部，<math>{\Theta_0}</math> ≈ <math>{2.5 \times 10^{-6} \mathrm{m}{^2}\mathrm{Pa}^{-2}\mathrm{s}^{-2}}</math> .

将 (12) 乘以<math>{f_0 \over \sigma}</math>并对<math>{p}</math>微分，结合<math>{\chi}</math>的定义可得

: <math>{{{\partial \over \partial p} \left ({{f_0 \over \sigma}{\partial \chi \over \partial p}} \right )}=-{{\partial \over \partial p}\left({{f_0 \over \sigma}{\mathbf{V_g} \cdot \nabla}{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_0}{\partial \omega \over \partial p}}-{{f_0}{\partial \over \partial p}\left({kJ \over \sigma p}\right)}}</math> (13)

简单起见，<math>{J}</math>设为 0，消除 (11) 和 (13) 中的<math>{\omega}</math>得出<ref>Holton, J.R. (2004). Introduction to Dynamic Meteorology, 4th Edition. Elsevier., p. 157.</ref>

: <math>{{ \left({\nabla^2 + {{\partial \over \partial p} \left({{f_0^2 \over \sigma}{\partial \over \partial p}}\right)}}\right){\chi}}=-{{f_0}{\mathbf{V_g} \cdot \nabla}\left({{{1 \over f_0}{\nabla^2 \Phi}}+f}\right)}-{{\partial \over \partial p}\left({{-}{f_0^2 \over \sigma}{\mathbf{V_g} \cdot \nabla}\left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}\right)}}</math> (14)

方程（14）通常被称为''位势倾向方程''。它将局部位势趋势（项 A）与涡度平流分布（项 B）和厚度平流（项 C）联系起来。

=== 使用准地转位涡度的相同恒等式 ===
使用微分的链式法则，C 项可以写为

: <math>{-{{\mathbf{V_g} \cdot \nabla}{\partial \over \partial p}\left({{f_0^2 \over \sigma}{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_0^2 \over \sigma}{\partial \mathbf{V_g} \over \partial p}{\cdot \nabla}{\partial \Phi \over \partial p}}}</math> (15)

但基于[[热成风]]关系，

: <math>{{f_0{\partial \mathbf{V_g} \over \partial p}}={\hat{\mathbf{k}} \times \nabla \left({\partial \Phi \over \partial p} \right)}}</math> .

换句话说， <math>{\partial \mathbf{V_g} \over \partial p}</math>垂直于<math>{\nabla ({\partial \Phi \over \partial p})}</math>，式（15）中的第二项消失。

第一项可以与式（14）中的项 B 组合，当除以<math>{f_0}</math>可以用守恒方程的形式表示<ref>Holton, J.R. (2004). Introduction to Dynamic Meteorology, 4th Edition. Elsevier., p. 160.</ref>

: <math>{{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf{V_g} \cdot \nabla}}\right)q}={D_g q \over Dt}=0}</math> (16)

其中<math>{q}</math>是由下式定义的准地转位涡

: <math>{q = {{{1 \over f_0}{\nabla^2 \Phi}}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_0 \over \sigma}{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}}</math> (17)

方程(17)的三项从左到右分别是地转''相对''涡度、''行星''涡度和''伸展''涡度。

== 推论 ==
当一个气团在大气中移动时，它的相对涡量、行星涡量和拉伸涡量可能会发生变化，但式（17）表明，随着地转运动，三者之和必须是守恒的。

式 (17) 可用于用已知高度场<math>{\Phi}</math>找到<math>{q}</math>。或者，它也可以用于预测给定初始分布的位势场的演变<math>{\Phi}</math>和合适的边界条件通过使用反演过程。

更重要的是，准地转系统将五变量原始方程简化为一个方程系统，其中所有变量如<math>{u_g}</math>, <math>{v_g}</math>和<math>{T}</math>可以从位涡<math>{q}</math>或高度场<math>{\Phi}</math>导出。

另外，因为<math>{\zeta_g}</math>和<math>{\mathbf{V_g}}</math>都被定义为<math>{\Phi(x,y,p,t)}</math> ，涡量方程可用于诊断垂直运动，前提是两者的场<math>{\Phi}</math>和<math>{\partial \Phi \over \partial t}</math>是已知的。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
[[Category:綜觀尺度氣象學]]
[[Category:流体力学]]