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{{NoteTA
|G1=Math
}}
[[File:Coefficient of Determination.svg|thumb|400px|决定系数<math>R^2 = 1 - \frac{\color{blue}{SS_\text{res}}}{\color{red}{SS_\text{tot}}}</math>示意图

线性回归（右侧）的效果比起平均值（左侧）越好，决定系数的值就越接近于1。 蓝色正方形表示线性回归的残差的平方， 红色正方形数据表示对于平均值的残差的平方。]]

'''决定系数'''，或稱'''判定系数'''（{{lang-en|Coefficient of determination}}，记为''R'' <sup>2</sup>），在[[统计学]]中用于度量[[應變數]]的变异中可由自变量解释部分所占的比例，以此来判断[[線性迴歸|迴歸模型]]的解释力。<ref>{{cite book|last=Steel|first=R. G. D.|last2=Torrie|first2=J. H.|year=1960|title=Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences|url=https://archive.org/details/principlesproce00stee|publisher=[[McGraw Hill]]}}</ref><ref>{{cite book |last=Glantz |first=Stanton A. |last2=Slinker |first2=B. K. |year=1990 |title=Primer of Applied Regression and Analysis of Variance |url=https://archive.org/details/primerofappliedr0000glan |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-023407-8}}</ref><ref>{{cite book |last=Draper |first=N. R. |last2=Smith |first2=H. |year=1998 |title=Applied Regression Analysis |publisher=Wiley-Interscience |isbn=0-471-17082-8}}</ref>

对于简单[[线性回归]]而言，决定系数为样本[[相关系数]]的平方。<ref name=Devore>{{cite book |last1 = Devore|first1 = Jay L.|title = Probability and Statistics for Engineering and the Sciences| edition=8th |publisher = Cengage Learning |location = Boston, MA | year = 2011 |isbn =0-538-73352-7 |pages=508–510}}</ref>当加入其他回归自变量后，决定系数相应地变为多重相关系数的平方。

假设一数据集包括''y''<sub>1</sub>,...,''y''<sub>''n''</sub>共''n''个观察值，相对应的模型预测值分别为''f''<sub>1</sub>,...,''f''<sub>''n''</sub>。定义[[残差]]''e''<sub>''i''</sub> = ''y''<sub>''i''</sub> − ''f''<sub>''i''</sub>，平均观察值为
:<math>\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i. </math>

于是可以得到总平方和
: <math>SS_\text{tot}=\sum_i (y_i-\bar{y})^2,</math>
残差平方和
:<math>SS_\text{res}=\sum_i (y_i - f_i)^2=\sum_i e_i^2\,</math>

由此，决定系数可定义为
:<math>R^2 \equiv 1 - {SS_{\rm res}\over SS_{\rm tot}}.\,</math>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{Authority control}}
[[Category:迴歸診斷]]
[[Category:统计学比率]]