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{{Unreferenced|time=2018-06-02T02:22:56+00:00}}
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|G1 = Math
}}
在[[集合论]]和有关的[[数学]]分支中，'''冯·诺伊曼全集'''或'''冯·诺伊曼集合层次'''，是由所有[[集合 (数学)|集合]]組成的[[类 (数学)|类]]，可以分成[[超限数|超限]]階级的个体集合（a transfinite hierarchy of individual sets）。

它可以用[[超限归纳法]]定义为如下：

* 设''V''<sub>0</sub>是[[空集]]{}。
* 对于任何[[序数]]α，设''V''<sub>α+1</sub>是''V''<sub>α</sub>的[[冪集|幂集]]。
* 对于任何[[极限序数]]λ，设''V''<sub>λ</sub>是迄今为止所有''V''-阶段的[[并集]]：
:: <math> V_\lambda := \bigcup_{\alpha < \lambda} V_\alpha \! </math>.
* 最后，设''V''是所有''V''-阶段的并：
:: <math> V := \bigcup_{\alpha} V_\alpha \! </math>.

等价的说，对于任何序数α，设<math>V_\alpha := \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta) \! </math>，这里的<math>\mathcal{P} (X) \!</math>是X的[[冪集|幂集]]。

==V和集合论==
如果ω是[[自然数]]的集合，则''V''<sub>ω</sub>是[[继承有限集合]]的集合，它是不带有[[无穷公理]]的集合论的[[模型论|模型]]。''V''<sub>ω+ω</sub>是[[普通数学]]<!--ordinary mathematics-->的[[全集]]。它是[[Zermelo集合论]]的模型。如果κ是{{tsl|en|Inaccessible cardinal|不可及基数}}，则''V''<sub>κ</sub>是[[Zermelo-Fraenkel集合论]]自身的模型，而''V''<sub>κ+1</sub>是[[Morse–Kelley集合论]]的模型。

注意所有个体阶段''V''<sub>α</sub>都是集合，但是它们的并集''V''是[[真类]]。在''V''中的集合叫做'''继承良基集合'''；[[正规公理|基础公理]]要求所有集合是良基的而因此是继承良基的。（也有的公理系统忽略基础公理，或把基础公理替換為其強否定，如Aczel的反基础公理，不過這類系統很少被用到）。

给定任何集合''A''，使得''A''是某個''V''<sub>α</sub>的子集的最小序数α是''A''的'''[[阶 (集合论)|阶]]'''（或'''继承等级'''）。

==哲学观点==
有两种不同的方式来理解冯·诺伊曼全集''V''和[[ZFC]]的联系。粗略的说，[[数学形式主义|形式主义者]]傾向於把''V''看作是从ZFC公理推出的某种东西（例如，ZFC证明了所有集合都在''V''中）。在另一方面，[[實在論|实在論者]]會把冯·诺伊曼全集看作从直觉可直接触及的某种东西，而把ZFC公理看作在''V''中为真的命题，透過簡單論證（透過自然語言），可以使人信服它們的真確性。一个可能的中间立场是，冯·诺伊曼层次的形象化概念给ZFC公理提供了一个动机（所以這些公理不是任意提出來的），但這不意味ZFC公理確實有描述真实存在的对象。

==参见==
*[[冯·诺伊曼]]
*[[可构造全集]]
*[[不可及基数]]

[[Category:集合族]]