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[[数学]]中，'''冯·诺伊曼代数'''<ref>{{Cite web |title=术语在线 |url=https://www.termonline.cn/wordDetail?termName=%E5%86%AF%C2%B7%E8%AF%BA%E4%BC%8A%E6%9B%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0&subject=a027d85c26a911ee81b7b068e6519520&base=1 |website=www.termonline.cn |access-date=2025-03-13}}</ref>或'''W*-代数'''是[[希尔伯特空间]]上有界算子的[[*-代数]]，在[[弱算子拓扑]]中[[闭集|封闭]]，并包含[[恒等算子]]，是一类特殊的[[C*-代数]]。
冯·诺伊曼代数由[[约翰·冯·诺依曼]]提出，源于对[[算子理论|单算子]]、[[群表示论]]、[[遍历理论]]和[[量子力学]]的研究。[[冯诺依曼双连续定理|冯·诺伊曼双连续定理]]表明，[[数学分析|解析]]定义等同于作为对称性代数的纯[[抽象代数|代数]]定义。

冯·诺伊曼代数的两个基本例子：
*实线上[[本质上确界和本质下确界|本质有界]]的[[可测函数]]环<math>L^\infty(\mathbb R)</math>是交换冯·诺伊曼代数，其元素在[[平方可积函数]]的[[希尔伯特空间]]<math>L^2(\mathbb R)</math>上通过逐点乘充当[[乘法算子]]。
*希尔伯特空间<math>\mathcal H</math>上所有有界算子的代数<math>\mathcal B(\mathcal H)</math>是冯·诺伊曼代数，若希尔伯特空间维度至少为2，则是非交换的。
{{harvtxt|von Neumann|1930}}在1929年首次研究了冯·诺伊曼代数，他和Francis Murray在20世纪30、40年代撰写的一系列论文中（{{harvard citations|nb=yes|first=F.J.|last=Murray|first2=J. |last2=von Neumann |year=1936|year2=1937|year3=1943}}、{{harvard citations|nb=yes|first=J. |last=von Neumann |year1=1938|year2=1940|year3=1943|year4=1949}}）称之为'''算子环'''，发展了冯·诺伊曼代数的基本理论，重印于{{harvtxt|von Neumann|1961}}。

关于冯·诺伊曼代数的介绍见{{harvtxt|Jones|2003}}、{{harvtxt|Wassermann|1991}}的注，及{{harvtxt|Dixmier|1981}}、{{harvtxt|Schwartz|1967}}、{{harvtxt|Blackadar|2005}}、{{harvtxt|Sakai|1971}}等书。{{Harvtxt|Takesaki|1979}}的系列著作对冯·诺伊曼代数进行了百科全书式阐述。{{harvtxt|Connes|1994}}讨论了更高级的主题。

==定义==
冯·诺伊曼代数有3种常见定义。

* （希尔伯特空间上的）有界算子的[[弱算子拓扑|弱闭]][[*-代数]]（包含恒等）。这定义中，弱（算子）拓扑可换成其他[[算子拓扑|常见拓扑]]，如[[强算子拓扑|强]]、[[超强拓扑|超强]]、[[超弱拓扑|超弱]]算子拓扑。在[[算子范数|范数拓扑]]下封闭的有界算子的*-代数是[[C*-代数]]，因此冯·诺伊曼代数都是C*-代数。
* 对[[对合]]（*-运算）封闭的有界算子的子代数，且等于其双[[交换子]]，或等价于在*下封闭的某子代数的[[交换子]]。[[冯诺依曼双交换定理|冯·诺伊曼双交换定理]]{{harv|von Neumann|1930}}指出，前两个定义等价。
* 前两个定义将冯·诺伊曼代数描述为作用于某给定希尔伯特空间的算子集。{{harvtxt|Sakai|1971}}指出，冯·诺伊曼代数也可抽象地定义为有[[预对偶]]的C*-代数；也就是说，冯·诺伊曼代数作为[[巴拿赫空间]]是另一些巴拿赫空间的[[对偶空间|对偶]]，称作预对偶。冯·诺伊曼代数的预对偶在同构意义上是唯一的。有人用“冯·诺伊曼代数”表示与希尔伯特空间作用匹配的代数，“W*-代数”表示抽象概念，于是，冯·诺伊曼代数是W*-代数、希尔伯特空间与其上合适的忠实酉作用构成的。冯·诺伊曼代数的具体定义和抽象定义同C*-代数类似，后者可定义为希尔伯特空间上算子的对范数封闭的*-代数，或满足<math>||aa^*||=||a||\ ||a^*||</math>的[[巴拿赫代数#巴拿赫*-代数|巴拿赫*-代数]]。

==术语==
冯·诺伊曼代数中一些术语可能令人困惑，且在本理论之外往往有不同含义。

*'''因子'''（factor）是具有平凡中心的冯·诺伊曼代数，即中心只含标量算子。
*'''有限'''冯·诺伊曼代数是有限因子的[[直积分]]（即冯·诺伊曼代数有忠实的正规迹态<math>\tau: M \rarr \mathbb{C}</math><ref>[http://perso.ens-lyon.fr/gaboriau/evenements/IHP-trimester/IHP-CIRM/Notes=Cyril=finite-vonNeumann.pdf An Introduction To II1 Factors] {{Wayback|url=http://perso.ens-lyon.fr/gaboriau/evenements/IHP-trimester/IHP-CIRM/Notes=Cyril=finite-vonNeumann.pdf |date=20240623023650 }} ens-lyon.fr</ref>）。同样，'''紧合无限'''（properly infinite）冯·诺伊曼代数是紧合无限因子的直积分。
*作用于[[可分空间|可分]]希尔伯特空间的冯·诺伊曼代数也'''可分'''，注意这类代数在范数拓扑中常常不再可分。
*希尔伯特空间上有界算子集'''生成'''的冯·诺伊曼代数是包含所有算子的最小冯·诺伊曼代数。

*两希尔伯特空间上各自冯·诺伊曼代数的'''张量积'''是由代数张量积生成的冯·诺伊曼代数，被视作希尔伯特空间的张量积上的算子。

[[遗忘函子|遗忘]]冯·诺伊曼代数上的拓扑，就可将其看做（含幺）[[*-代数]]，或就只是一个环。冯·诺伊曼代数是[[遗传环|半遗传]]的：射影模的每个有限生成子模也是射影的。冯·诺伊曼代数的底环有多次公理化尝试，如贝尔*-环、[[AW*-代数]]等。有限冯·诺伊曼代数的[[隶属算子]]的[[*-代数]]是[[冯诺依曼正则环|冯·诺伊曼正则环]]。（冯·诺伊曼代数本身一般不是冯·诺伊曼正则的）

== 交换冯·诺伊曼代数 ==
{{Main|阿贝尔冯诺依曼代数}}
[[交换律|交换]]冯·诺伊曼代数和[[测度空间]]的关系类似于交换[[C*-代数]]和[[局部紧]][[豪斯多夫空间]]的关系。对度量空间<math>(X,\ \mu)</math>，交换冯·诺伊曼代数都同构于[[Lp空間|<math>L^{\infty}(X)</math>]]；反之，对σ-有限度量空间，*-代数<math>L^{\infty}(X)</math>都是冯·诺伊曼代数。

于是，冯·诺伊曼代数理论也称作非交换测度论，[[C*-代数]]理论也称作[[非交换拓扑]]{{harv|Connes|1994}}。

== 投影 ==
冯·诺伊曼代数中，满足<math>E=EE=E^*</math>的算子''E''称作'''投影'''，是''H''在某闭子空间上的正交投影算子。若希尔伯特空间''H''的子空间是''M''中某投影的像，则称其'''属于'''冯·诺伊曼代数''M''，这建立了''M''的投影和属于''M''的子空间之间建立了一一对应关系。非正式地说，子空间是可用''M''的元素来描述的闭空间。

可以证明，''M''中任意算子的像的闭包和''M''中任意算子的核都属于''M''；另外，属于''M''的任何子空间在''M''的算子下的像的闭包也属于''M''（这些是[[极分解]]的结果）。

===投影比较理论===
投影的基本理论由{{harvtxt|Murray|von Neumann|1936}}提出。属于''M''的两子空间若存在属于冯·诺伊曼代数的部分等距映射，将一者同构地映射到另一者，则称它们（'''穆雷-冯·诺伊曼'''）等价。若相应子空间等价，或有''H''的[[部分等距]]，将''E''的像同构映射到''F''的像，且是冯·诺伊曼代数的元素，则称''E''等价于''F''。另一种说法是，若对''M''中某部分等距''u''，满足<math>E=uu^*,\ F=u^*u</math>，则称''E''等价于''F''。

由此定义的等价关系~是可加的：设<math>E_1\sim F_1,\ E_2\sim F_2</math>。若<math>E_1\perp E_2,\ F_1\perp F_2</math>，则<math>E_1+E_2\sim F_1+F_2</math>。若在~的定义中要求酉等价（对幺元''u''，若<math>u^*Eu=f</math>，则<math>E\sim F</math>），那么可加性一般不成立。[[薛定谔-伯恩斯坦定理]]给出了穆雷-冯·诺伊曼等价的充分条件。

属于''M''的子空间通过包含而部分有序，产生了投影的偏序≤。在投影的等价类集上还有一个自然偏序，来自投影的偏序≤。若''M''是因子，则≤是投影等价类上的总阶，下详。

若不存在等价于''E''的投影''F'' < ''E''（即<math>F\le E,\ F\neq E</math>），则称投影（或属于''M''的子空间）''E''为有限投影。例如，有限维投影（或子空间）都有限（因为希尔伯特空间之间的等距性使维数固定不变），而无限维希尔伯特空间上的恒等算子在其上所有有界算子的冯·诺伊曼代中并不是有限的，因为其与自身的一个适当子集同构。不过，无限维子空间也有可能有限。

正交投影是<math>L^{\infty}(\mathbb{R})</math>中指示函数的非交换类似物。<math>L^{\infty}(\mathbb{R})</math>是由指示函数生成的子空间的<math>||\cdot||_{\infty}</math>闭包。同样，冯·诺伊曼代数有其投影生成，这是自伴算子谱定理的结果。

有限因子的投影形成[[连续几何]]。

== 因子 ==
冯·诺伊曼代数''N''的[[中心 (代数)|中心]]只由恒等算子的倍数组成，称作因子。{{harvtxt|Von Neumann|1949}}证明，可分希尔伯特空间上的冯·诺伊曼代数都同构于因子的[[直积分]]，这一分解是本质唯一的。因此，可分希尔伯特空间上冯·诺伊曼代数同构类的分类可转化为因子同构类的分类问题。
{{harvtxt|Murray|von Neumann|1936}}指出，因子可分3类。类型分类可推广到非因子的冯·诺伊曼代数。若冯·诺伊曼代数可分解为X型因子的直积分，则就是X型的，例如交换冯·诺伊曼代数都是I<sub>1</sub>类。冯·诺伊曼代数都可唯一地写成I、II、III类冯·诺伊曼代数之和。

还有其他几种分类因子的方法：
* 若因子是I类，则称其'''离散'''；若是II类或III类，则称其'''连续'''。
* 若因子是I或II类，则称其'''半无限'''；若因子是II类，则称其'''纯无限'''。
* 若投影1是有限的，则称因子'''有限'''，否则称紧合无限。I、II类因子可能有限也可能紧合无限，III类因子总是紧合无限的。

===I类因子===
若存在最小的投影<math>E\neq 0</math>，使得不存在投影''F''满足<math>0<F<E</math>，则称其为'''I类因子'''。I类因子都同构于某希尔伯特空间上所有有界算子的冯·诺伊曼代数，因为每个[[基数 (数学)|基数]]都有希尔伯特空间，I类因子的同构类是与基数完全对应的。很多学者只考虑可分希尔伯特空间上的冯·诺伊曼代数，因此习惯上把有限''n''维希尔伯特空间上的有界算子称作<math>{\rm I}_n</math>型因子，可分无限维希尔伯特空间上的有界算子则是<math>{\rm I}_{\infty}</math>型因子。
===II类因子===
若不存在最小投影，但存在非零有限投影，则称其为'''II类因子'''。这意味着每个投影''E''都可以“平分”，即有两个穆雷-冯·诺伊曼等价的投影''F''、''G''，且满足<math>E=F+G</math>。若II类因子中的恒等算子有限，则是<math>{\rm II}_1</math>型因子；否则是<math>{\rm II}_{\infty}</math>型因子。最易理解的II型因子是{{harvtxt|Murray|von Neumann|1936}}发现的超无限<math>{\rm II}_1</math>型因子、超无限<math>{\rm II}_{\infty}</math>型因子，是<math>{\rm II}_1</math>、<math>{\rm II}_{\infty}</math>型中唯一的超无限因子。这类因子还有很多，都值得深入研究。{{harvtxt|Murray|von Neumann|1937}}证明了一个基本结果：<math>{\rm II}_1</math>型因子具有唯一的有限迹态，投影的迹集为[0,1]。

<math>{\rm II}_{\infty}</math>型因子具有半无限迹，在缩放意义上唯一，投影的迹集为[0,∞]。<math>{\rm II}_{\infty}</math>型因子的基本群是实数λ集合，使得存在自同态，缩放迹λ倍。

<math>{\rm II}_1</math>型因子与无限I型因子的张量积是<math>{\rm II}_{\infty}</math>型，反之，任何<math>{\rm II}_{\infty}</math>型因子都可这样构造。<math>{\rm II}_1</math>型因子的'''基本群'''是因子与I型无限（可分）因子的张量积的基本群。多年来，人们一直在寻找基本群不是[[正实数]]群的II型因子，[[阿兰·科纳]]随后证明，具有[[卡日丹性质 (T)]]的可数离散群（平凡表示在对偶空间中孤立）（如<math>{\rm SL}(3,\ \mathbb{Z})</math>）的冯·诺伊曼群代数具有可数基本群。后来，[[索林·波帕]]证明，特定群的基本群可能是平凡的，如<math>{\rm SL}(2,\ \mathbb{Z})</math>对<math>\mathbb{Z}^2</math>的[[半直积]]。

<math>{\rm II}_1</math>型因子的一个例子是可数无限离散群的冯·诺伊曼群代数，使每个非平凡共轭类都无限。
{{harvtxt|McDuff|1969}}发现了一个具有非同构冯·诺伊曼群代数的不可数族，从而显示了不可数多个可分<math>{\rm II}_1</math>型因子的存在。

===III型因子===
不含任何非零有限投影的因子是'''III型'''因子。{{harvtxt|Murray|von Neumann|1936}}在第一篇论文中无法确定是否存在，{{harvtxt|von Neumann|1940}}发现了第一个例子。由于恒等算子在这些因子中总是无限的，因此过去也称作<math>{\rm III}_{\infty}</math>，最近改做<math>{\rm III}_{\lambda}</math>，其中''λ''是[0, 1]中的实数。更确切地说，若（其模群的）科纳谱是1，则是<math>{\rm III}_0</math>型因子；若科纳谱为''λ''（<math>0<\lambda<1</math>）的所有整数幂，则是<math>{\rm III}_{\lambda}</math>型；若科纳谱是所有正实数，则是<math>{\rm III}_1</math>型（科纳谱是正实数的闭子群，因此只有这些可能）。III型因子的唯一迹在所有正元素上取值为∞，任何两个非零投影都等价。III型因子曾一度被认为是很棘手的对象，但[[富田–竹崎理论]]带来了很好的结构理论。特别是，任何III型因子都可用正规方式写成<math>{\rm II}_{\infty}</math>型因子与实数的[[叉积]]。

==预对偶==
冯·诺伊曼代数''M''都有预对偶<math>M_*</math>，是''M''上所有超弱连续线性泛函的巴拿赫空间。顾名思义，''M''（作为巴拿赫空间）是其预对偶的对偶。预对偶是唯一的，因为对偶为''M''的任何其他巴拿赫空间都与<math>M_*</math>同构。{{harvtxt|Sakai|1971}}证明了预对偶的存在是C*-代数中冯·诺伊曼代数的特征。
上文给出的预对偶定义似乎取决于''M''作用于的希尔伯特空间的选择，因为它决定了超弱拓扑。 不过也可定义为''M''上所有正'''正规'''线性泛函生成的空间（此处“正规”指应用于自伴算子的递增[[网 (数学)|网]]时保上界；或等价于投影的递增序列）。
预对偶<math>M_*</math>是对偶<math>M^*</math>的闭子空间（包含''M''上所有范数连续线性泛函），通常小些。<math>M_*</math>不同于<math>M^*</math>的证明是非构造性的，用很重要的方式使用了选择公理。要展示在<math>M^*</math>而不在<math>M_*</math>中的元素非常困难，例如，冯·诺伊曼代数<math>I^{\infty}(Z)</math>上的奇特正线性形式由自由[[超滤子]]给出，对应于进入''C''的奇特*-同态，并描述了''Z''的[[斯通-切赫紧化]]。

例子：
#<math>\mathbb{R}</math>上本质有界函数的冯·诺伊曼代数<math>L^{\infty}(\mathbb{R})</math>的预对偶是可积函数的巴拿赫空间<math>L^1(\mathbb{R})</math>。<math>L^{\infty}(\mathbb{R})</math>的对偶严格大于<math>L^1(\mathbb{R})</math>，例如，在<math>L^{\infty}(\mathbb{R})</math>上推广了有界连续函数<math>C^0_b(\mathbb{R})</math>的闭子空间上的[[狄拉克测度]]<math>\delta_0</math>的泛函不能表为<math>L^1(\mathbb{R})</math>中的函数。
#希尔伯特空间''H''上有界算子的冯·诺伊曼代数<math>B(H)</math>的预对偶是所有[[迹类算子]]（迹范数为<math>||A||={\rm Tr}(|A|)</math>）的巴拿赫空间。迹类算子的巴拿赫空间本身是紧算子的C*-代数的对偶（自身不是冯·诺伊曼代数）。

==权、状态、迹==
权、特殊状态与迹在{{harv|Takesaki|1979}}中有详细讨论。

*冯·诺伊曼代数上的'''权''' ω是从正元素（形式<math>a^*a</math>）集到[0, ∞]的线性映射。
*'''正线性泛函'''是ω(1)有限的权（或说是ω通过线性，到整个代数的扩张）。
*'''[[状态 (泛函分析)|状态]]'''是<math>\omega(1)=1</math>的权。
*'''迹'''是<math>\forall a,\ \omega(aa^*)=\omega(a^*a)</math>的权。
*'''迹状态'''是<math>\omega(1)=1</math>的迹。

因子都有迹，即非零投影的迹也非零，并且当且仅当投影无限时，投影的迹才是无限的。这样的迹在重缩放的意义上是唯一的。对可分或有限的因子，当且仅当两投影具有相同的迹时，它们等价。因子类型可从迹在因子投影上的可能值获得，如下：
*<math>{\rm I}_n</math>型：对正数''x''，<math>0,\ x,\ 2x,\ \ldots,\ nx</math>（一般归一化为<math>x=1/n</math>或1）。
*<math>{\rm I}_{\infty}</math>型：对正数''x''，<math>0,\ x,\ 2x,\ \ldots,\ \infty</math>（一般归一化为x = 1）。
*<math>{\rm II}_1</math>型：对正数''x''，<math>[0,\ x]</math>（一般归一化为x = 1）。
*<math>{\rm II}_{\infty}</math>型：<math>[0,\ \infty].</math>
*III型：<math>\{0,\ \infty\}.</math>

若冯·诺伊曼代数作用于含范数为1的向量''v''的希尔伯特空间，则泛函<math>a\to (av,\ v)</math>是正规状态。这种构造可反过来从正规状态给出对希尔伯特空间的作用，就是正规状态的[[GNS构造]]。

==因子上的模==
给定抽象可分因子，可要求对其模（即其所作用的可分希尔伯特空间）进行分类。结果如下：每个模''H''都可给定一个''M''维的<math>{\rm dim}_M(H)</math>（而非作为复向量空间的维度），这样，当且仅当它们有同样的''M''维时，模相互同构。''M''维是可加的，当且仅当一个模''m''的''M''维不大于另一模''n''时，''m''与''n''的子空间同构。

若模有循环可分向量，则称其是'''标准的'''。因子都有标准表示，在同构意义上唯一。标准表示有反线性对合''J''使<math>JMJ=M'</math>。对有限因子，标准模由应用于唯一正规迹态的[[GNS构造]]给出，''M''维被归一化，因此标准模的''M''维为1，而对无限因子，标准模是''M''维无穷大的模。

模的可能''M''维数如下：
*<math>{\rm I}_n</math>（''n''有限）型：''M''维可以是<math>0/n,\ 1/n,\ 2/n,\ 3/n,\ \ldots,\ \infty</math>。标准模的''M''维数为1（复维数为2）。
*<math>{\rm I}_{\infty}</math>型：''M''维可以是<math>0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ \infty</math>。<math>B(H)</math>的标准表示是<math>H\otimes H</math>，其''M''维数无穷大。
*<math>{\rm II}_1</math>型：''M''维可以是[0, ∞]中的任意数。归一化后，标准模的''M''维数为1。''M''维也称作模''H''的'''耦合常数'''。
*<math>{\rm II}_{\infty}</math>型：''M''维可以是[0, ∞]中的任意数。一般来说没有规范方法归一化，因子可能有外自同构，将''M''维乘以常数。标准表示是''M''维数无穷大的表示。
*III型：''M''维可以是0或∞。任意两个非零模都同构，所有非零模都是标准的。

==可均冯·诺伊曼代数==
{{harvtxt|Connes|1976}}等人证明，可分希尔伯特空间''H''上的冯·诺伊曼代数''M''的下列条件等价：

* ''M''是'''超无限'''或'''近似有限维'''（AFD）或'''近似有限''的：代数包含有限维子代数的递增序列的，具有稠密的交（注意有人用“超有限”表示“AFD且有限”）。
*''M''是'''可均的'''（amenable）：在正规巴拿赫双模中取值的''M''的[[导子]]都是内的。<ref>{{Cite journal|last=Connes|first=A|date=May 1978|title=On the cohomology of operator algebras |journal=Journal of Functional Analysis|language=en|volume=28|issue=2|pages=248–253|doi=10.1016/0022-1236(78)90088-5|doi-access=}}</ref>
*''M''具有施瓦茨'''性质P'''：对''H''上任意有界算子''T''，元素<math>uTu^*</math>的弱算子闭凸包包含与''M''交换的元素。
*''M'' 是'''半离散的'''：恒等映射<math>M\to M</math>是秩有限的完全正映射的弱点极限。
*''M''具有'''性质E'''或'''羽毛田–富山扩张性'''：从''H''上的有界算子到''M'' '，有范数为1的投影。
*''M''是'''单射'''：从任意含幺C*-代数''A''的任意含1自伴闭子空间到''M''的任何完全正映射，都可推广为''A''到''M''的完全正映射。

上面这类代数没有公认的术语，科纳建议用'''可均'''。

可均因子已被分类：在<math>0<\lambda\le 1</math>的条件下，<math>{\rm I}_n,\ {\rm I}_{\infty},\ {\rm II}_1,\ {\rm II}_{\infty},\ {\rm III}_{\lambda}</math>各有一个，<math>{\rm III}_0</math>的对应某些遍历流。（对<math>{\rm III}_0</math>型，称其为分类有点误导，因为众所周知，并没有简单的遍历流分类方法。）I型与<math>{\rm II}_1</math>型由{{harvtxt|Murray|von Neumann|1943}}分类，<math>{\rm III}_1</math>由Haagerup分类，其余的由{{harvtxt|Connes|1976}}分类。

所有可均因子都能用穆雷和冯·诺伊曼对单一[[遍历性 (信号处理)|遍历]]变换的[[叉积|群测度空间构造]]得到。事实上，它们正是''Z''或''Z/nZ''在阿贝尔冯·诺伊曼代数<math>L^{\infty}(X)</math>上的自由遍历作用的[[叉积]]产生的因子。[[测度空间]]''X''是[[原子 (测度论)|原子]]的，且作用是传递的，则出现I型因子；''X''是扩散的或非原子的，则等价于[0,1]的[[测度空间]]。''X''具有等价有限（<math>{\rm II}_1</math>）或无限（<math>{\rm II}_{\infty}</math>）测度，且在''Z''的作用下不变时，出现II型因子；若无不变测度，只有不变测度类，则出现III型因子，称作'''克里格因子'''（Krieger factor）。

==冯·诺伊曼代数的张量积==
两希尔伯特空间的张量积是其代数张量积的完备化。可定义冯·诺伊曼代数的张量积（代数视作环的代数张量积的完备化），所得也是冯·诺伊曼代数，并作用于对应希尔伯特空间的张量积。两有限代数的张量积有限，无限代数和非零代数的张量积无限。冯·诺伊曼代数张量积的类型取较大值。'''张量积交换定理'''指出

:<math>(M\otimes N)^\prime = M^\prime\otimes N^\prime,</math>

其中''M' ''表示''M''的[[交换子]]。

无穷多冯·诺伊曼代数的张量积通常是个大得离谱的不可分代数。{{harvtxt|von Neumann|1938}}指出，应在每个冯·诺伊曼代数上选取一个状态，以定义代数张量积上的一个状态，从而产生希尔伯特空间与（较小的）冯·诺伊曼代数。{{harvtxt|Araki|Woods|1968}}研究了所有因子都是有闲矩阵代数的情形，这些因子称作'''Araki–Woods'''因子或'''ITPFI因子'''（ITPFI表示“有限I型因子的无限张量积”）。无限张量积的类型可随着状态改变发生巨大变化，如无限多<math>{\rm I}_2</math>型因子的无限张量积可具有任意类型，取决于状态的选择。特别是{{harvtxt|Powers|1967}}对<math>{\rm I}_2</math>型因子进行无限张量积，发现了<math>0<\lambda<1</math>时不可数的非同构超无限<math>{\rm III}_{\lambda}</math>型因子不可数族，称作'''Powers因子'''，每个因子的状态如下：

:<math>x\mapsto {\rm Tr}\begin{pmatrix}{1\over \lambda+1}&0\\ 0&{\lambda\over \lambda+1}\\ \end{pmatrix} x.</math>
 
所有不是<math>{\rm III}_0</math>的超无限冯·诺伊曼代数都同构于Araki–Woods因子，有不可数多的<math>{\rm III}_0</math>型超无限冯·诺伊曼代数不同构。

==双模与子因子==
'''双模'''（或对应）是有两个交换冯·诺伊曼代数的模作用的希尔伯特空间''H''。双模的结构比模丰富得多。两因子上的双模总给出[[子因子]]，因为其中一因子总包含于另一因子的交换子中。此外，科纳在双模上发现了一种微妙的相对张量积运算。[[沃恩·琼斯]]提出的子因子理论调和了这两种看似迥异的观点。

双模对离散群Γ的冯·诺伊曼群代数''M''也很重要。事实上，若''V''是Γ的任意[[酉表示]]，将Γ视作Γ × Γ的对角子群，<math>I^2(\Gamma,\ V)</math>上相应的[[诱导表示]]自然就是''M''的两个交换副本的双模。Γ的重要[[表示论]]性质完全可用双模表述，因此对冯·诺伊曼代数本身也有意义。例如，科纳和琼斯以这种方式给出了冯·诺伊曼代数的[[卡日丹性质 (T)]]的类似定义。

==不可均因子==
I型冯·诺伊曼代数可均，其他类型则有不可数多种不可均因子，似乎很难分类，甚至很难相互区分。Voiculescu证明，来自群测度空间构造的不可均因子类与来自自由群的冯·诺伊曼代数群'''不相交'''。后来[[小泽登高]]证明，[[双曲群]]的冯·诺伊曼代数群会产生[[素数|素]]的<math>{\rm II}_1</math>型因子，即不能作为<math>{\rm II}_1</math>型因子的张量积进行分解，这结果最早由Leeming Ge利用Voiculescu的[[自由概率论|自由熵]]，对自由群因子进行了证明。波帕关于不可均因子基本群的研究是另一项重大进展。目前“超无限之外”的因子理论正在迅速扩展，并取得了许多令人惊讶的成果，与[[几何群论]]和[[遍历理论]]中的[[格里戈里·马尔古利斯|刚性现象]]有密切关系。

==例子==
*σ有限测度空间上的本质有界函数构成了作用于<math>L^2</math>函数的交换（<math>{\rm I}_1</math>型）冯·诺伊曼代数。对一些通常认为[[病态 (数学)|病态]]的非σ有限测度空间，<math>L^{\infty}(X)</math>不是冯·诺伊曼代数，如可测集的σ代数可能是不可数集上的可数-余可数代数。基本近似定理可用[[卡普兰斯基稠密性定理]]表示。
*任意希尔伯特空间上的有界算子构成冯·诺伊曼代数，实际上是I型因子。
*若在希尔伯特空间''H''上的群''G''我们有任意[[酉表示]]，则与''G''交换的有界算子形成冯·诺伊曼代数''G' ''，其投影精确对应''H''在''G''下不变的闭子空间。等价子表示对应''G' ''中的等价投影。''G''的双交换''G' ' ''也是冯·诺伊曼代数。
*离散群''G''的'''冯·诺伊曼群代数'''是<math>H=I^2(G)</math>上所有与''G''在''H''上的作用通过右乘交换的有界算子的代数。可以证明，这就是由与<math>g\in G</math>的左乘相对的算子生成的冯·诺伊曼代数。若''G''的非平凡共轭类都无限（例如非阿贝尔自由群），则它就是（<math>{\rm II}_1</math>型）因子；若''G''是有限子群的并（如固定了除有限多元素外所有整数的置换群），则就是<math>{\rm II}_1</math>型超无限因子。
*如上一节所述，两冯·诺伊曼代数的张量积或有状态的可数张量积是冯·诺伊曼代数。
*可定义冯·诺伊曼代数与离散（更一般地，局部紧）群的[[叉积]]，也是冯·诺伊曼代数。特殊情形是穆雷合冯·诺伊曼的'''群测度空间构造'''，以及'''克里格因子'''。
*可定义可测[[等价关系]]的冯·诺伊曼代数和可测[[广群]]。这些例子概括了冯·诺伊曼群代数和群测度空间构造。

==应用==
冯·诺伊曼代数在[[纽结理论]]、[[统计力学]]、[[量子场论]]、[[局部量子力学]]、[[自由概率]]、[[非交换几何]]、[[表示论]]、[[微分几何]]与[[动力系统]]等领域都有应用。

例如，[[C*-代数]]为概率论提供了另一种公理化方法，称作[[GNS构造]]。这类似于测度和积分的两种方法，可以先构造集合的测度，再定义积分；或者先构造积分，再将集合度量定义为特征函数的积分。

== 另见 ==
* [[AW*-代数]]
* [[富田–竹崎理论]]
==参考文献==
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{{泛函分析}}

[[Category:算子理论]]