查看“︁冪零群”︁的源代码

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在[[群論]]裡，'''冪零群'''為一擁有幾乎[[阿貝爾群|可換]]之特殊性質的[[群]]，經由[[交換子]]（[''x'',''y''] = ''x''<sup>-1</sup>''y''<sup>-1</sup>''xy''）的重複應用。冪零群誕生於[[伽羅瓦理論]]和對群的分類之中。其對[[李群]]的分類亦具有很重要的功用。

==定義==

首先先定義群''G''的'''降中央列'''，其為一系列的群''G'' = ''A''<sub>0</sub>、''A''<sub>1</sub>、''A''<sub>2</sub>、...、''A''<sub>''i''</sub>，其中每個''A''<sub>''i''+1</sub> = [''A''<sub>''i''</sub>, ''G'']為所有由''A''<sub>''i''</sub>中的''x''及''G''中的''y''所算出的所有交換子[''x'',''y'']所[[群的產生集|產生]]出來的''G''的[[子群]]。因此，''A''<sub>1</sub>=[''G'',''G'']=''G''<sup>1</sup>為''G''的[[导群]]，而''A''<sub>2</sub> = [''G''<sup>1</sup>, ''G'']，以此類推。

若''G''為可換的，則[''G'',''G''] = ''E''，即為其平凡子群。將此一概念延伸，則可定義一個群''G''為'''冪零的'''，若其存在一[[自然數]]''n''使得''A''<sub>''n''</sub>為平凡的。若''n''為可使得''A''<sub>''n''</sub>的最小自然數，則稱此一群''G''為''n級冪零''。每一個阿貝爾群都是1級冪零，除了[[平凡群]]之外，其為0級冪零。若一個群為至少''m''級冪零，則有時稱其為零''m''群。

做為證明此一名詞''冪零''使用的正當性，先取一冪零群''G''及其內一元素''g''並定義一函數''f'': ''G'' &rarr; ''G'' 為''f''(''x'') = [''x'',''g'']。則這一函數為冪零的，因為其存在一自然數''n''使得''f''<sup>''n''</sup>，即''f''的''n''次遞迴，將每一個''G''內的元素''x''映射至[[單位元素]]。

另一個定義冪零群的等價方法為採取'''升中央列'''之方式，其為一系列的群''E'' = ''Z''<sub>0</sub>、''Z''<sub>1</sub>、''Z''<sub>2</sub>、...、''Z''<sub>''i''</sub>，其中每個接續的群之定義為：

:<math>Z_{i+1} = \{x\in G | \forall y\in G:[x,y] \in Z_i \}</math>

在此定義下，''Z''<sub>1</sub>為''G''的[[中心 (群論)|中心]]，且對於其每個接續的群而言，其[[商群]]''Z''<sub>''i''+1</sub>/''Z''<sub>''i''</sub>皆為''G''/''Z''<sub>''i''</sub>的中心。對一阿貝爾群來說，''Z''<sub>1</sub>簡單為''G''；而一個群被稱為''n級冪零''，若有一最小的''n''使得''Z''<sub>''n''</sub> = ''G''。

上述兩種定義為等價的：降中央列會到達其平凡子群''E''若且唯若其升中央列可以達到''G''；此外，其''n''最小值在兩者中也會是一樣的。

==例子==

如上面所述，每一個阿貝爾群均為冪零。

一個小的非阿貝爾群之例子為[[四元群]]''Q''<sub>8</sub>。其有兩個元素{1, &minus;1}所組成的中心，且其降中央列為{1}、{1, &minus;1}、''Q''<sub>8</sub>；所以其為2級冪零。實際上，每個有限多個有限[[p-群]]的直積皆是冪零的。

[[海森堡群]]為非阿貝爾冪零群的另一個例子。

==性質==

當每個接續的[[商群]]''Z''<sub>''i''+1</sub>/''Z''<sub>''i''</sub>皆為可換的，其序列為有限個的，且每一個冪零群都為一具有較簡單結構的[[可解群]]。

每一個''n''級冪零群的子群均為至少''n''級冪零；另外，若''f''為''n''級冪零群的[[群同態|同態]]，''f''的值域則為至少''n''級冪零的。

下列的敘述在有限群中均為等價，表現出一個冪零性的有用性質：
* ''G''為一冪零群。
* 若''H''為''G''的純子群，則''H''為''N''(''H'')（''G''內''H''之[[正規化子]]）的純[[正規子群]]。
* 每一個''G''的最大純子群均為正規的。
* ''G''為其[[西洛定理|西洛子群]]的[[直積]]。

最後一個敘述可以被延伸至無限群的狀況下：若''G''為一冪零群，則''G''的每一個西洛子群''G''<sub>''p''</sub>都是正規的，且其西洛子群的直積會是''G''內有限目的所有元素所組成之子群。（見[[撓子群]]）。

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