查看“︁冪集”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=math
}}

[[数学]]上，集合的'''冪集'''（{{lang-en|power set}}），定義為由該集合全部[[子集]]为元素構成的集合。给定集合 <math>S</math>，其幂集 <math>\mathcal{P}(S)</math>（或作<math>2^S</math>）以符号表示即为

:<math>\mathcal{P}(S) := \{U | U \subseteq S\}</math>。

在[[公理集合论]]（例如[[策梅洛-弗兰克尔集合论|ZFC集合论]]）中，[[幂集公理]]假定了任何集合的幂集均存在。

<math>\mathcal{P}(S)</math>的任何[[子集合]]<math>\mathcal F</math>称为<math>S</math>上的[[集族]]。

== 例子 ==

若<math>S</math>是集合<math>\{a, b, c\}</math>，则<math>S</math>的全部子集如下：

* <math>\varnothing</math>（[[空集]]）
* <math>\{a\}</math>
* <math>\{b\}</math>
* <math>\{c\}</math>
* <math>\{a, b\}</math>
* <math>\{a, c\}</math>
* <math>\{b, c\}</math>
* <math>\{a, b, c\}</math>

因此<math>S</math>的幂集为

:<math>\mathcal{P}(S) = \{</math><math>\varnothing</math>, <math>\{a\}</math>, <math>\{b\}</math>, <math>\{c\}</math>, <math>\{a, b\}</math>, <math>\{a, c\}</math>, <math>\{b, c\}</math>, <math>\{a, b, c\}</math><math>\}\,\!</math>。

== 性质 ==

容易證明冪集合必然含原集合的全集（因為集合自身也為集合的子集）和空集合（因為空集為任意集合的子集合）。


若<math>S</math>是有限集，有<math>|S|=n</math>个元素，那么<math>S</math>的幂集有<math>|\mathcal{P}(S)| = 2^n</math>个元素。我们也可以考虑集合元素為無限大的幂集，見[[康托尔定理|康托爾定理]]。


集合<math>S</math> 的幂集，加上并、交和补运算，就得出[[布尔代数]]的原始例子。

事实上，我们可以证明所有有限布尔代数都是同构于某有限集的幂集的布尔代数。这结果虽然对无穷布尔代数不成立，但是所有无穷布尔代数都是某个幂集布尔代数的子代数。


集合<math>S</math> 的幂集与对称差运算构成一个[[阿贝尔群]]（其中空集为幺元，每个集合的逆元为其本身），与交运算一起则构成[[交换律|交換]][[半群]]。因此这两个运算跟幂集（透过证明分配律）一起构成一个交换[[環 (代數)|環]]。

==2<sup>''S''</sup>的記法==
在[[集合论]]中，<math>X^Y</math>是由所有从<math>Y</math>到<math>X</math>的函数构成的集合。因为<math>2</math>可以定义为<math>\{0,1\}</math>（见[[自然数]]），<math>2^S</math>这集合包含了所有从<math>S</math>到<math>\{0,1\}</math>的函数。把<math>2^S</math>内的函数对应于由这函数给出的<math>1</math>的[[原像]]，可看出在<math>2^S</math>和<math>\mathcal{P}(S)</math>之间存在[[双射]]，其中每个函数是<math>\mathcal{P}(S)</math>中这函数所对应的子集的[[指示函数|特征函数]]。所以就[[集合论]]来说<math>2^S</math>和<math>\mathcal{P}(S)</math>是相同的。

== 構造方法 ==

從空集合開始，選擇包含某個元素或者不包含，所有每次增加兩種可能，每一層可能的元素不斷變為兩倍。


将<math>\mathcal{P}(S)</math>的元素表示为''n''位二进制数；第''n''位表示包含或不含<math>S</math>的第''n''个元素。这样的数总共有<math>2^n</math>个，见[[位数组]]。

== 相關研究 ==

從冪集合探討無窮集合的勢之後，發現了[0,1] 區間內的所有實數是不可數的。後續依次引發了[[連續統假設]]、力迫法等研究。

[[Category:抽象代数|M]]
[[Category:集合論基本概念|M]]

{{集合论}}