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在[[數學]]裡，'''冪等'''有兩種主要的定義。
*在某[[二元運算]]下，'''冪等元素'''是指被自己重複運算（或對於[[函數]]是為[[複合函數|複合]]）的結果等於它自己的元素。例如，乘法下唯一兩個冪等[[實數]]為0和1。
*某[[一元運算]]為'''冪等'''的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，[[高斯符號]]便是冪等的。
*[[一元運算]]的定義是[[二元運算]]定義的特例（詳情請見下面）。

==定義==

===二元運算===

設<math>S</math>為一具有作用於其自身的[[二元運算]]的集合，則<math>S</math>的元素<math>s</math>稱為冪等的(相對於<math>*</math>)當<ref>{{cite book |last=Valenza |first=Robert |date=2012 |title=Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics |url=https://books.google.com/books?id=7x8MCAAAQBAJ |location=Berlin |publisher=Springer Science & Business Media |page=22 |isbn=9781461209010 |quote=An element ''s'' of a magma such that ''ss'' = ''s'' is called ''idempotent''. |access-date=2019-03-11 |archive-date=2020-11-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201127041530/https://books.google.com/books?id=7x8MCAAAQBAJ |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite book |last=Doneddu |first=Alfred |date=1976 |title=Polynômes et algèbre linéaire |url=https://books.google.fr/books?id=5Ry7AAAAIAAJ |language=fr |location=Paris |publisher=Vuibert |page=180 |isbn= |quote=Soit ''M'' un magma, noté multiplicativement. On nomme idempotent de ''M'' tout élément ''a'' de ''M'' tel que ''a''<sup>2</sup> = ''a''. |access-date=2019-03-11 |archive-date=2019-06-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190608172342/https://books.google.fr/books?id=5Ry7AAAAIAAJ |dead-url=no }}</ref>

<math> s*s = s</math>

特別的是，任一[[單位元]]都是冪等的。若<math>S</math>的所有元素都是冪等的話，則其二元運算*被稱做是冪等的。例如，[[聯集]]和[[交集]]的運算便都是冪等的。

===一元運算===

設<math>f</math>為一由<math>X</math>映射至<math>X</math>的[[一元運算]]，則<math>f</math>為冪等的，當對於所有在<math>X</math>內的<math>x</math>，

<math>f(f(x))=f(x)</math>

特別的是，[[恆等函數]]一定是冪等的，且任一[[常數函數]]也都是冪等的。

注意當考慮一由<math>X</math>至<math>X</math>的所有函數所組成的集合<math>S</math>時，<math>f</math>在一元運算下為冪等的若且唯若在二元運算下，<math>f</math>相對於其[[複合函數|複合運算]](標記為<math>o</math>)會是冪等的。這可以寫成<math>f\operatorname{o}f=f</math>。

==一般例子==

===函數===

如上述所說，恆等函數和常數函數總會是冪等的。較不當然的例子有[[實數]]或[[复数 (数学)|複數]]引數的[[絕對值]]函數，以及實數引數的[[高斯符號]]。

將一[[拓撲空間]]''X''內各子集''U''映射至''U''[[闭包 (拓扑学)|閉包]]的函數在''X''的冪集上是冪等的。這是[[閉包運算元]]的一個例子；所有個閉包運算元都會是冪等函數。

===環的冪等元素===

定義上，[[环 (代数)|環]]的冪等元素為一相對於環乘法為冪等的元素。可以定義一於環冪等上的[[偏序]]：若''e''和''f''為冪等的，當''ef'' = ''fe'' = ''e''時，標記為''e'' ≤ ''f''。依其順序，0會是最小冪等元素，而1為最大冪等元素。

若''e''在環''R''內為冪等的，則''eRe''一樣會是個乘法單位元為''e''的環。

兩個冪等元素''e''和''f''被稱為''正交的''當''ef''=''fe''=0。在此一情形下，''e''+''f''也是冪等的，且有''e'' ≤ ''e'' + ''f''和''f'' ≤ ''e'' + ''f''。

若''e''在環''R''內為冪等的，則''f'' = 1 − ''e''也會是冪等的，且''e''和''f''正交。

一在''R''內的冪等元素''e''稱為''核心的''，若對所有在''R''內的''x''，''ex''=''xe''。在此情形之下，''Re''會是個乘法單位元為''e''的環。''R''的核心冪等元素和''R''的分解為環的[[直和]]有很直接的關接。若''R''為環''R''<sub>1</sub>、...、''R''<sub>''n''</sub>的直和，則環''R''<sub>''i''</sub>的單位元在''R''內為核心冪等的，相互正交，且其總和為1。相反地，給出''R''內給相互正交且總和為1的核心冪等元素''e''<sub>1</sub>、...、''e''<sub>''n''</sub>，則''R''會是環''Re''<sub>1</sub>、...、''Re''<sub>''n''</sub>的直和。所有較有趣的是，每一於''R''內的核心冪等''e''都會給出一''R''的分解－''Re''和''R''(1 − ''e'')的直和。

任一不等於0和1的冪等元素都是[[零因子]](因為''e''(1 − ''e'') =  0)。這表示了[[整環]]及[[除環]]都不會存在此種冪等元素。[[局部環]]也沒有此種冪等元素，但理由有點不同。唯一包含於一環的[[雅各布森根]]內的冪等元素只有0。[[共四元數]]環內會有一冪等元素組成的[[懸鏈曲面]]。

''所有''元素都冪等的環稱做[[布爾環]]。可證明在每一此類環內，乘法都是可交換的，且每一元素都有其各自的[[加法逆元]]。

===其他例子===

冪等運算也可以在[[布林代數]]內找到。[[邏輯和]]與[[邏輯或]]便都是冪等運算。

在[[線性代數]]裡，[[投影]]是冪等的。亦即，每一將向量投射至一子空間V（不需正交）上的[[線性算子]]，都是冪等的。

一冪等半環為其''加法''（非乘法）為冪等的[[半環]]。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 参见 ==
* [[不动点]]

{{-}}
{{二元運算的性質}}

[[Category:闭包算子|D]]