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{{NoteTA|G1=Math}}
'''冪數'''<ref>{{Cite web |url=http://www.dictall.com/indu/220/2192439F81B.htm |title=詞都 幂数 |accessdate=2012-02-05 |archive-date=2019-05-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190519175813/http://www.dictall.com/indu/220/2192439F81B.htm |dead-url=no }}</ref>（{{lang-en|powerful number}}）也稱為'''幂次数'''，是指一[[正整数]]<math>n</math>，其所有[[質因數]]的平方亦是<math>n</math>的[[因數]]，換言之，若存在一質因數<math>p</math>，則<math>p^2</math>也是<math>n</math>的因數。

冪數可表示為一個[[平方數]]及[[立方數]]的乘積，若<math>a</math>及''<math>b</math>''為正整數（包括1在內），<math>a^2b^3</math>即為冪數。而平方數及立方數本身（及整數的更高次方）也是冪數。

[[保羅·艾狄胥]]及[[喬治·塞凱賴什]]都曾針對這類數字進行研究，而數學家Solomon W. Golomb將這類的數命名為「powerful number」，「powerful」應該是指數字由許多[[冪]]所組成，但此詞恰巧也有「強大的」、「有力的」的意思。

以下是1000以內冪數的列表：
:[[1]], [[4]], [[8]], [[9]], [[16]], [[25]], [[27]], [[32]], [[36]], [[49]], [[64]], [[72]], [[81]], [[100]], [[108]], [[121]], [[125]], [[128]], [[144]], [[169]], [[196]], [[200]], [[216]], [[225]], [[243]], [[256]], [[288]], [[289]], 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 {{OEIS|id=A001694}}。

== 數學性質 ==
冪數的[[質因數分解]]中，各質因數指數均大於1。

冪數的[[倒數和收斂]]，其值為：

:<math>\prod_p \left(1 + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \frac{1}{p^4} + \cdots \right) = \prod_p\left(1+\frac{1}{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}=\frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)</math>

其中
:''p''為所有的質數
:<math>\zeta(s)</math>為[[黎曼ζ函數]]
:<math>\zeta(3)</math>為[[阿培里常數]]<ref name="Golomb"/>。

若用''k''(''x'')來表示當1&le;''n''&le;''x''時，冪數''n''的個數，則''k''滿足以下的不等式

:<math>cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2.173\cdots</math><ref name="Golomb"/>
。

[[佩爾方程]]''x''<sup>2</sup>-8''y''<sup>2</sup>=1有無限多個正整數解，因此存在無限多組連續的冪數（若''x''、''y''為正整數解，則''x''<sup>2</sup>及8''y''<sup>2</sup>即為二個連續的冪數），其中最小的是8和9<ref name="Golomb">S. W. Golomb, Powerful numbes, ''Amer. Math. Monthly'' '''77'''(1970), 848--852.</ref>。而8和9恰好也是唯一一組連續的[[次方數]]（[[卡塔蘭猜想]]，後來已被數學家[[普雷達·米哈伊列斯庫]]證明）。

===冪數的和與差===
每一個奇數都可以表示為二個連續數字的平方的差：(''k'' + 1)<sup>2</sup> = ''k''<sup>2</sup> + 2k +1<sup>2</sup>，因此 (''k'' + 1)<sup>2</sup> - ''k''<sup>2</sup> = 2''k'' + 1。而每一個4的倍數都可以表示為二個彼此差2的正整數，其平方的差：(''k'' + 2)<sup>2</sup> - ''k''<sup>2</sup> = 4''k'' + 4。以上數字均可表示為二平方數的差，因此可就是二個冪數的差。

但無法被4整除的[[偶數]]（即{{link-en|奇偶數|Singly even number}}）無法表示為二個平方數的差，但不確定是否可表示為二個冪數的差，然而Golomb發現以下的等式

:2=3<sup>3</sup>-5<sup>2</sup>
:10=13<sup>3</sup>-3<sup>7</sup>
:18=19<sup>2</sup>-7<sup>3</sup>=3<sup>2</sup>(3<sup>3</sup>-5<sup>2</sup>)

以上的等式未包括6，Golomb猜想有無窮多個奇偶數無法表示為二個冪數的差，不過後來Narkiewicz發現6也可以表示為二個冪數的差：

:6=5<sup>4</sup>7<sup>3</sup>-463<sup>2</sup>

而且可以找到無限多組的冪數，二個冪數之間的差為6。而McDaniel證明每個整數都有無限多組表示為二個冪數的差的方法<ref>Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, ''Fibonacci Quart.'' '''20'''(1982), 85--87.</ref>。

保羅·艾狄胥猜想每一個足夠大的整數均可表示為最多三個冪數的和，後來由[[羅傑·希斯-布朗]]證實了保羅·艾狄胥的猜想<ref>D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), ''Colloq. Math. Soc. J&#225;nos Bolyai'' '''51'''(1990), 163--171.
Brown, 1987)</ref>。

== 一般化 ==
冪數的質因數分解中，所有的指數均不小於2。以此概念再延伸，若一整數的質因數分解中，所有的指數均不小於''k''，可稱為''k''-冪數。

:(2<sup>''k''</sup>+1}-1)<sup>''k''</sup>, 2<sup>''k''</sup>(2<sup>''k''+1</sup>-1)<sup>''k''</sup>, (2<sup>''k''+1</sup>-1)<sup>''k''+1</sup>

是由k-冪數所組成的[[等差數列]]，若''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''s''</sub>是由''k''-冪數所形成的等差数列，公差為d，則

: ''a''<sub>1</sub>(''a''<sub>''s''</sub>+''d'')<sup>''k''</sup>, ''a''<sub>2</sub>(''a''<sub>''s''</sub>+''d'')<sup>''k''</sup>, ..., ''a''<sub>''s''</sub>(''a''<sub>''s''</sub>+''d'')<sup>''k''</sup>, (''a''<sub>''s''</sub>+d)<sup>''k''+1</sup>

則是由''s''+1個項''k''-冪數所組成的等差数列。

以下是一個有關''k''-冪數的恆等式：

:''a''<sup>''k''</sup>(''a''<sup>''n''</sup>+...+1)<sup>''k''</sup>+''a''<sup>''k''+1</sup>(''a''<sup>''n''</sup>+...+1)<sup>''k''</sup>+...+''a''<sup>''k''+''n''</sup>(''a''<sup>''n''</sup>+...+1)<sup>''k''</sup>=''a''<sup>''k''</sup>(''a''<sup>''n''</sup>+...+1)<sup>''k''+1</sup>

因此可以找到無窮多組的''k''-冪數，其個數為''n''+1個，而這些''k''-冪數的和也是''k''-冪數。Nitaj證明了存在無窮多組互質的3-冪數''x''、''y''、''z''，滿足''x''+''y''=''z''的形式<ref>*A. Nitaj, On a conjecture of Erd&#246;s on 3-powerful numbers, ''Bull. London Math. Soc.'' '''27''' (1995), 317--318.</ref>。Cohn找到一個可產生無窮多組互質，且非立方數的3-冪數''x''、''y''、''z''，可滿足''x''+''y''=''z''的方法：以下的數組

:''X''=9712247684771506604963490444281, ''Y''=32295800804958334401937923416351, ''Z''=27474621855216870941749052236511

是方程式32''X''<sup>3</sup> + 49''Y''<sup>3</sup> = 81''Z''<sup>3</sup>的解（因此32''X''<sup>3</sup>、49''Y''<sup>3</sup>及81''Z''<sup>3</sup>即為上述的3-冪數數組）。令''X''&prime;=''X''(49''Y''<sup>3</sup> + 81''Z''<sup>3</sup>), ''Y''&prime; = −''Y''(32''X''<sup>3</sup> + 81''Z''<sup>3</sup>), ''Z''&prime; = ''Z''(32''X''<sup>3</sup> − 49''Y''<sup>3</sup>)，再除以其最大公因數即為一組新的解。

== 関連項目 ==
*[[阿喀琉斯數]]
*[[次方數]]

== 註解 ==
{{reflist}}

== 延伸閱讀 ==
*J. H. E. Cohn, A conjecture of Erd&#246;s on 3-powerful numbers, ''Math. Comp.'' '''67''' (1998), 439--440. [http://www.ams.org/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00881-3/] {{Wayback|url=http://www.ams.org/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00881-3/ |date=20071225035532 }}
*P. Erd&#246;s & G. Szekeres, &#220;ber die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und &#252;ber ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, ''Acta Litt. Sci. Szeged'' '''7'''(1934), 95--102.
*Richard Guy, Section B16 in ''Unsolved Problems in Number Theory'', Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.
*D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, ''S&#233;minaire de Th&#233;orie des Nombres, Paris, 1986-7'', Birkh&#228;user, Boston, 1988.

== 外部連結 ==
*[http://mathworld.wolfram.com/PowerfulNumber.html Powerful number in mathworld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/PowerfulNumber.html |date=20200319001005 }}

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[[Category:数論]]
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