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[[File:Interior illustration.svg|right|thumb|點 ''x'' 是 ''S'' 的內部點，因為它包含在 ''S'' 內并有一個開球圍繞著它。點 ''y'' 在 ''S'' 的邊界上。]]

'''内部'''（{{lang-en|interior}}，又稱開核，{{lang-en|open kernel}}），是點集拓樸中的術語。[[拓扑空间]]内子集合 ''S'' 的「内部」定義為：所有 ''S'' 的開子集的[[并集]]。<ref> {{Cite book | author = James R. Munkres | title = Topology (second edition) | location = United States of America | publisher = Pearson | date = 2017-03-10 | pages = 95| ISBN = 9780134689517 | language = en}} </ref>直观上可以想成「不在 ''S'' 的[[边界 (拓扑学)|边界]]上」的''S'' 的[[点]]组成。''S'' 的内部中的点称为 ''S'' 的'''内点'''（{{lang-en|interior point}}）。

另一個等价地定義為，''S'' 的内部是 ''S'' [[补集]]的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]的补集。内部的概念在很多情况下和闭包的概念对偶。

一个集合的'''[[外部]]'''（{{lang|en|exterior}}）是它补集的内部，等同于它闭包的补集；它包含既不在集合内，也不在边界上的点。一个子集的内部、边界和外部一同将整个空间分为三块（或者更少，因為這三者有可能是空集）。内部和外部总是[[开集|开]]的，而边界总是[[闭集|闭]]的。没有内部的集合叫做'''边缘集'''（{{lang|en|boundary set}}）。


== 定义 ==

=== 内点 ===
令 ''S'' 为[[欧几里得空间]]的子集。若存在以 ''x'' 为中心的[[开球]]被包含于 ''S''，则 ''x'' 是 ''S'' 的内点。

这个定义可以推广到[[度量空间]] ''X'' 的任意子集 ''S''。具体地说，对具有度量 ''d'' 的度量空间 ''X''，''x'' 是 ''S'' 的内点，若对任意不属于''S''或在''S''边界上的''y''，都有''d''(''x'', ''y'') >0。

这个定义也可以推广到[[拓扑空间]]，只需要用[[邻域]]替代“开球”。 设 ''S'' 是拓扑空间 ''X'' 的子集，则 ''x'' 是 ''S'' 的内点，若存在 ''x'' 邻域被包含于 ''S''。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

=== 集合的内部 ===
集合 <math>S</math> 的'''内部'''是 <math>S</math> 的所有内点组成的集合。<math>S</math> 的内部一般記作 <math>Int(S)</math> 或 <math>S^\circ</math>。集合的内部满足下列性质：

*<math>Int(S)</math> 是 <math>S</math> 的开子集。
*<math>Int(S)</math> 是所有包含于 <math>S</math> 的[[开集]]的并集，<math>Int(S) = \bigcup \{U \subset S|U</math> 為開集 <math> \}</math>。
*<math>Int(S)</math> 是包含于 <math>S</math> 的最大的开集。
*集合 <math>S</math> 是开集[[当且仅当]] <math>S = Int(S)</math>。
*<math>Int(Int(S)) = Int(S)</math>（[[幂等]]）。
*若 <math>S</math> 为 <math>T</math> 的子集，则 <math>Int(S)</math> 為 <math>Int(T)</math> 的子集。
*若 <math>A</math> 为开集，则 <math>A \subset S</math>当且仅当 <math>A \subset Int(S)</math>。

上述第二或第三条性质都可獨立地作為拓扑内部的''定义''。

===內部公理===
设集合<math>X</math>及其幂集<math>\mathcal{P}(X)</math>，映射<math>i : \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X)</math>称为'''内部算子'''，当且仅当其满足以下'''内部公理'''：
* i1：<math>\forall A \subseteq X, i(A) \subseteq A</math>；
* i2：<math>\forall A \subseteq X, i(A) = i(i(A))</math>；
* i3：<math>\forall A, B \subseteq X, i(A \cap B) = i(A) \cap i(B)</math>；
* i4：<math>i(X) = X</math>；

其中对于<math>X</math>的子集<math>A</math>，<math>i(A)</math>称为<math>A</math>的'''内部'''，<math>i(A)</math>中的点称为<math>A</math>的'''内点'''。

从内部算子出发可以定义拓扑，这和从开集，闭集，闭包，邻域，导集，基等概念出发定义拓扑的方式是等价的。

;'''开集'''
:<math>X</math>的子集<math>A</math>称为'''开集'''，当且仅当<math>i(A) = A</math>；
;'''闭集'''
:<math>X</math>的子集<math>A</math>称为'''闭集'''，当且仅当<math>i(X-A) = X-A</math>；
;'''闭包算子'''，'''闭包'''，'''触点'''
:對應內部算子<math>i</math>的'''闭包算子'''<math>c : \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X)</math>的定义为<math>c(A) = X - i(X-A), \forall A \subseteq X</math>。其中<math>c(A)</math>称为<math>A</math>的'''闭包'''，<math>c(A)</math>中的点称为<math>A</math>的'''触点'''。闭包算子是内部算子的对偶概念，闭包是内部的对偶概念，触点是内点的对偶概念。
;'''[[邻域]]'''
:對於<math>X</math>的子集<math>A</math>，<math>B</math>，<math>A</math>被稱作<math>B</math>的'''邻域'''，当且仅当<math>B \subseteq i(A)</math>。
;'''[[邊界 (拓撲學)|边界]]'''，'''边界点'''
:對應內部算子<math>i</math>的'''边界算子'''<math>\partial : \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X)</math>的定义为<math>\partial(A) = c(A) - i(A), \forall A \subseteq X</math>。其中<math>\partial A</math>称为<math>A</math>的'''边界'''，<math>\partial A</math>中的点称为<math>A</math>的'''边界点'''。

=== 常用结论和性质 ===
除了上述定义提到的，以下是一些常用的其它结论。
* ∀A，B⊆X，A⊆B ⇒ i(A)⊆i(B)。
* ∀A，B⊆X，i(A∪B)⊇i(A)∪i(B)。
* ∀A，B⊆X，A是开集 ⇒ ( A⊆B ⇔ A⊆i(B) )。（i(B)是包含于B的最大开集。)
* ∀B⊆X，i(B) = ∪{A：A是开集，A⊆B}；（i(B)是B中所有开集之并。）

== 举例 ==
*在任意空间，空集的内部是空集。
*对任意空间 ''X'', int(''X'') = ''X''.
*若 ''X'' 为[[实数]]的欧几里得空间 '''R'''，则 int([0, 1]) = (0, 1)。
*若 ''X'' 为实数的欧几里得空间 '''R'''，则[[有理数]]集合 '''Q''' 的内部是空集。
*若 ''X'' 为[[複平面]] '''C''' = '''R'''<sup>2</sup>，则 int({''z'' 属于 '''C''' : |''z''| ≥ 1}) = {''z'' in '''C''' : |''z''| > 1}。
*在任意欧几里得空间，任意[[有限]]集合的内部是空集。

在实数集上，除了标准拓扑，还可以使用其他的拓扑结构。

*若 ''X'' = '''R'''，且 '''R''' 有[[下限拓扑]]，则 int([0, 1]) = [0, 1)。
*若考虑 '''R''' 中所有集合都是开集的拓扑，则 int([0, 1]) = (0, 1)。
*若考虑 '''R''' 中只有空集和 '''R''' 自身是开集的拓扑，则 int([0, 1]) 是空集。

上述示例中集合的内部取决于背景空间的拓扑。接下来给出的两个示例比较特殊。

*在任意[[离散空间]]中，由于所有集合都是开集，所以所有集合都等于其内部。
*在任意[[不可分空间]] ''X'' 中，由于只有空集和 ''X'' 自身是开集，所以 int(''X'') = ''X'' 且对 ''X'' 的所有[[真子集]] ''A''，int(''A'') 是空集。

== 内部算子 ==
'''内部算子''' <sup>o</sup> 是[[闭包算子]] <sup>−</sup> 的对偶，在如下意义上

:''S''<sup>o</sup> = ''X'' \ (''X'' \ ''S'')<sup>−</sup>,

还有

:''S''<sup>−</sup> = ''X'' \ (''X'' \ ''S'')<sup>o</sup>

这里的 ''X'' 是包含''S'' 的[[拓扑空间]]，反斜杠指示[[补集]]。

因此，通过把集合替代为它的补集，闭包算子和[[库拉托夫斯基闭包公理]]的抽象理论可以轻易的转换到使用内部算子的语言中。

==參見==
*[[内部代数]]
*[[外部]]

==外部链接==
*{{planetmath reference|id=3123|title=Interior|urlname=interior}}

==參考文獻==
{{reflist}}

{{-}}
{{点集拓扑}}
{{泛函分析}}
[[Category:点集拓扑学|N]]
[[Category:闭包算子]]