查看“︁内积空间”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{Linear algebra}}
'''内积空间'''（{{lang-en|inner product space}}）是增添了某種[[函数|運算]]的[[向量空间]]，這種運算叫做内积，它推廣了原來[[欧几里德空间]]的[[点积|點積]]，而從比較一般的角度看待[[向量]]的“[[角|夹角]]”、“[[长度]]”還有[[正交|正交性]]。

== 相關術語 ==
内积空间有时也叫做'''准希尔伯特空间'''（{{lang|en|pre-Hilbert space}}），因为由内积定义的[[度量空间|距离]][[完备空间|完备化]]之后就会得到一个[[希尔伯特空间]]。

在早期的著作中，本條目所定義的内积空间被称作'''-{zh-cn:酉;zh-tw:么正;}-空间'''，但這些著作裡的“内积空间”反而指的是有限維[[Euclid空间]]或可數維的[[Lp空间]]。

== 正式定义 ==
下文中 <math>F</math> 有可能是[[实数|实数系]] <math>\mathbb{R}</math> 或[[复数 (数学)|复数系]] <math>\mathbb{C}</math> 。

<math>V</math> 是一個定義在[[域 (数学)|域]] <math>\left(
F,\,+,\,\times
\right)</math> 上的[[向量空间]]，其'''向量加法'''記為「 <math>\oplus</math> 」 ，且其'''标量乘法'''記為「 <math>\cdot</math> 」。若它裝配了一個二元[[函数]] <math>f:V \times V \to F</math> 滿足：（以下將 <math>f(v,\,w)</math> 簡寫為 <math>\langle v,\,w \rangle</math> ）
{| class="wikitable"
!名稱
!前提條件
!內容
|- style="background:#F8F4FF;"
|[[共轭复数|共轭]]对称
|對所有 <math>v,\,w \in V</math>
|<math>\langle v,\,w\rangle =\overline{\langle w,\,v\rangle}</math>
|- style="background:#F8F4FF;"
| rowspan="2" |[[线性算子|线性]]
|對所有 <math>a,\,v,\,w \in V</math>
|<math>\langle v \oplus w,\,a \rangle
= \langle v,\,a \rangle + \langle w,\,a \rangle</math>
|- style="background:#F8F4FF;"
|對所有 <math>v,\,w \in V</math> 和所有 <math>\lambda \in F</math> 
|<math>\langle \lambda \cdot v,\,  w\rangle
=\lambda \times \langle v,\,w\rangle </math>
|- style="background:#F8F4FF;"
|非负性
| rowspan="2" |對所有 <math>v \in V</math>
|<math>\langle v,\,v\rangle \geq 0</math>
|- style="background:#F8F4FF;"
|非退化
|<math>(v = 0_V)
\Leftrightarrow
(\langle v,\,v \rangle = 0)</math>
|}
<!--共轭也写成星号的話，會與adjoint operator混淆。-->
這樣的話， <math>f</math> 會被稱為定義在 <math>V</math> 上的'''內積'''。更進一步的，若 <math>F=\C</math> 則稱 <math>V</math> 是個'''複內積空間，'''反之，若 <math>F=\R</math> 則稱 <math>V</math> 是個'''實內積空間'''。

如果 <math>\langle v,\,w \rangle = 0</math> ，也可記為 <math>v \perp w </math>  ，並稱「 <math>v</math> 與 <math>w</math> 是'''正交的'''（perpendicular）」。

=== 定义的分歧 ===
為了与[[量子力学]]中的[[狄拉克符号]]的順序相符，以上線性部分的定義常常被[[物理學家]]顛倒過來，也就是
{| class="wikitable"
|- style="background:#F8F4FF;"
| rowspan="2" |[[线性算子|线性]]
|對所有 <math>a,\,v,\,w \in V</math>
|<math>\langle a,\, v \oplus w \rangle
= \langle a,\, v \rangle + \langle a,\, w \rangle</math>
|- style="background:#F8F4FF;"
|對所有 <math>v,\,w \in V</math> 和所有 <math>\lambda \in F</math> 
|<math>\langle v,\, \lambda\cdot w\rangle
=\lambda \times \langle v,\,w\rangle </math>
|}
真正會造成影響的是第二條，因為可根據順序顛倒的第二條，從順序顛倒的第一條會推出原來的第一條，反之亦然（可參考[[内积空间#基本性质|基本性质一節]]第一個定理）。但這仍會造成許多定理的內積順序'''也要顛倒過來'''才會成立。

== 例子 ==
===实数的乘法===
因為[[实数|实数系]] <math>\mathbb{R}</math> 可以視是為定義在自己之上的向量空间，所以可以验证：<math>\langle x,y\rangle := xy</math> 满足内积的各种性质。

===点积===
[[欧几里德空间]] <math>\mathbb{R}^n</math>的[[点积]]：
:<math>\langle (x_1,\ldots, x_n),\,(y_1,\ldots, y_n)\rangle := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n</math>
是定義在 <math>\mathbb{R}^n</math>上的一個内积。

==基本性质==
{{Math theorem
|math_statement=
若 <math>V</math> 是複內積空間，那對所有的 <math>a,\,v,\,w \in V</math> 和所有的有 <math>\lambda \in \C</math> 有：
:(a) <math>\langle a,\,v \oplus w\rangle
= \langle a,\,v\rangle + \langle a,\,w\rangle</math>
:(b) <math>\langle v,\, \lambda\cdot w\rangle
=\overline{\lambda}\times\langle v,\,w\rangle </math>
}}

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!'''證明'''
|-
|
(a)

<math>\begin{aligned}
\langle a,\, v \oplus w \rangle
& = \overline{\langle v \oplus w,\, a \rangle}\\
& = \overline{\langle v,\, a \rangle + \langle w,\, a \rangle}\\
& = \overline{\langle v,\, a \rangle} + \overline{\langle w,\, a \rangle}\\
& = \langle a,\, v \rangle + \langle a,\, w \rangle
\end{aligned}</math>

(b)

<math>\begin{aligned}
\langle v,\, \lambda\cdot w\rangle
& = \overline{\langle \lambda\cdot w,\, v \rangle}\\
& = \overline{\lambda \times \langle w,\, v \rangle} \\
& = \overline{\lambda} \times \overline{\langle w,\, v \rangle}\\
& = \overline{\lambda} \times \langle v,\, w\rangle
\end{aligned}</math>

故得証。<math>\Box</math>
|}

{{Math theorem
|name = 一般線性
|math_statement= 
若 <math>V</math> 是個'''複內積空間'''，對任意有限向量[[序列]] <math>{\{v_i \in V\}}^n_{i=1}</math> 和任意 <math>w \in V</math> 有：
:(a) <math>\left\langle \sum^n_{i=1} v_i ,\,w \right\rangle = \sum^n_{i=1} \langle  v_i ,\,w \rangle</math>
:(b) <math>\left\langle w,\,\sum^n_{i=1} v_i  \right\rangle = \sum^n_{i=1} \langle w,\, v_i \rangle</math>
}}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
若 <math>n = 2</math> ，本定理只是[[内积空间#正式定义|內積定义]]的線性部分，故成立。

若 <math>n = k</math>  時，對任意有限向量[[序列]] <math>{\{u_i \in V\}}^k_{i=1}</math> 和任意 <math>w \in V</math> 有：
:<math>\left\langle \sum^k_{i=1} u_i ,\,w \right\rangle = \sum^k_{i=1} \langle  u_i ,\,w \rangle</math>
這樣的話，對任意有限向量[[序列]] <math>{\{v_i \in V\}}^{k+1}_{i=1}</math> 和任意 <math>w \in V</math> 有：
:<math>\begin{align}
\left\langle \sum^{k+1}_{i=1} v_i ,\,w \right\rangle
& = \left\langle \left(\sum^k_{i=1} v_i \right) + v_{k+1} ,\,w \right\rangle \\
& = \left\langle \sum^k_{i=1} v_i  ,\,w \right\rangle + \langle v_{k+1} ,\,w \rangle\\
& = \sum^k_{i=1} \langle  v_i ,\,w \rangle + \langle v_{k+1} ,\,w \rangle\\
& = \sum^{k+1}_{i=1} \langle  v_i ,\,w \rangle
\end{align}</math>
所以根據[[数学归纳法]]，本定理(a)部分得証。這樣根據[[共轭复数|共轭]]的線性性質有：
:<math>\begin{align}
\left\langle w,\,\sum^n_{i=1} v_i  \right\rangle
& = \overline{\left\langle \sum^n_{i=1} v_i ,\, w \right\rangle} \\
& = \overline{\sum^{n}_{i=1} \langle  v_i ,\,w \rangle}\\
& = \sum^{n}_{i=1} \overline{ \langle  v_i ,\,w \rangle}\\
& = \sum^{n}_{i=1} \langle  w ,\,v_i \rangle
\end{align}</math>
故本定理的(b)部分也得証。<math>\Box</math>
|}
== 范数 ==
以下根據[[内积空间#正式定义|內積定义]]的非负性部分，定義 <math>g:V \to [0,\,\infty)</math> 為 <math> g(v) = \sqrt{\langle v,\,v \rangle}</math> ，並把 <math> g(v)</math> 表記為 <math> \|v\|</math> 。下面也將證明<math> \|v\|</math>的確是<math>V</math>上的[[范数]]。

=== 柯西-施瓦茨不等式 ===
{{Math theorem
|name = [[柯西-施瓦茨不等式]]
|math_statement=<br />
<math>V</math> 是個複內積空間，則對所有的 <math>v,\,w \in V</math> 有：
:(a) <math>\|v\|\|w\|\geq |\langle v,\,w \rangle|</math>
:(b) <math>\|v\|\|w\| = |\langle v,\,w \rangle|</math> <math>\Leftrightarrow</math> 存在 <math>\lambda \in \C</math> 使 <math>v = \lambda \cdot w</math> 
}}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
若 <math>v = w = 0_V</math> ，根據[[内积空间#正式定义|內積定义]]的非退化部分，本定理成立。若考慮 <math>v,\,w \neq 0_V</math> ，取 <math>e_v = \frac{1}{\|v\|} \cdot v</math> 、<math>e_w = \frac{1}{\|w\|} \cdot w</math> 與 <math>\alpha = \langle e_v,\,e_w \rangle</math> ，則根據[[内积空间#正式定义|內積定义]]有

<math>\begin{align}
\langle e_v \oplus (-\alpha) \cdot e_w,\, e_v \oplus (-\alpha) \cdot e_w \rangle
& = \langle e_v,\, e_v \rangle + \langle e_v,\, (-\alpha) \cdot e_w \rangle
+ \langle (-\alpha) \cdot e_w,\, e_v \rangle + \langle (-\alpha) \cdot e_w,\,(-\alpha) \cdot e_w \rangle\\ 
& = 1 - \overline{\alpha}\alpha -\alpha\overline{\alpha}+ \alpha\overline{\alpha}\\
& = 1 - {|\alpha|}^2\\
& = 1 -{\left(\frac{|\langle v,\, w \rangle|}{\|v\|\|w\|} \right)}^2\\
& \geq 0
\end{align}</math>

這樣定理的(a)部分就成立。考慮到 <math>|\langle v,\, w \rangle| = \|v\|\|w\|</math> 等價於上式內積要為零，那再根據[[内积空间#正式定义|內積定义]]的非退化部分，又等價於
:<math>e_v \oplus (-\alpha) \cdot e_w = 0_V</math>
那這樣根據[[向量空间#基本性质|向量空间的基本運算性质]]，又等價於
:<math>v = \frac{\langle v,\,r\rangle}{{\|w\|}^2} \cdot w</math>
所以(b)部分也成立，故得証。<math>\Box</math>
|}

=== 三角不等式 ===
{{Math theorem
|name = [[三角不等式]]
|math_statement=<br />
<math>V</math> 是個複內積空間，則對所有的<math>v,\,w \in V</math> 有：
:<math>\|v\| + \|w\|
\geq
\| v \oplus w \|</math>
}}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
根據[[内积空间#正式定义|內積定义]]有

<math>\begin{align}
{\|v \oplus w\|}^2
& =  \langle v \oplus w,\, v \oplus w \rangle\\
& = {\|v\|}^2 + \langle v,\,w \rangle + \langle w,\, w \rangle + {\|w\|}^2\\
& = {\|v\|}^2 + {\|w\|}^2 + 2 \operatorname{Re}(\langle v,\,w \rangle)\\
& \leq {\|v\|}^2 + {\|w\|}^2 + 2 |\langle v,\,w \rangle|
\end{align}</math>

這樣根據上面的[[柯西-施瓦茨不等式]]有

<math>\begin{align}
{\|v \oplus w\|}^2
& \leq {\|v\|}^2 + {\|w\|}^2 + 2 |\langle v,\,w \rangle| \\
& \leq {\|v\|}^2 + {\|w\|}^2 + 2 \|v\|\|w\| \\
& = {(\|v\| + \|w\|)}^2
\end{align}</math>

故本定理成立。<math>\Box</math>
|}

根據上面的三角不等式， <math>g</math> 的確是個定義在 <math>V</math> 上的[[范数]]。'''所以內積空間也是一個[[賦範向量空間]]'''。這樣直觀上 <math>\|v\|</math> 就是向量 <math>v</math> 的長度。這樣[[内积空间#正式定义|內積定义]]的非退化部分，就可以直觀理解為「任意向量 <math>v \in V</math> 為[[零向量]]，[[当且仅当]]其長度為零」。另外根據[[柯西-施瓦茨不等式]]，若 <math>\langle v,\,w \rangle \in \R</math> ，可以把 <math>\langle v,\,w \rangle</math> 跟[[点积|點積]]做類比，也就是依據[[反三角函数]]的性質，對「 <math>v</math> 和 <math>w</math> 間的夾角」做如下的定義：
:<math>\angle (v,\,w) :=
\cos^{-1}\left( \frac{\langle v,\,w \rangle}{\|v\|\|w\|} \right)</math>
這樣柯西-施瓦茨不等式可以直觀理解成上述的定義與「<math>cos{[\angle (v,\,w)]} = \pm1</math> 等價於 <math>v</math> 和 <math>w</math> 相互[[平行]]」。

=== 度量 ===
根據三角不等式，以下的[[函数]]：
:<math>d:V \times V \to \R^+ ;\; d(v,w) = \|v \ominus w\|</math>
的確是 <math>V</math> 上的[[度量空间#定义|度量]]。這樣因為[[度量空间#開集|度量空间有自然的拓撲結構]]，所以內積空間 <math>V</math> 也就有這種自然的拓撲結構；通常會把這個自然的拓撲記為 <math>\tau_V</math>。

=== 勾股定理 ===
{{Math theorem
| name = [[勾股定理]]
| math_statement = <br />
<math>V</math> 是個複內積空間，若有限向量[[序列]] <math>{\{v_i \in V\}}^n_{i=1}</math> 對任意不相等的[[正整數]] <math>1 \leq i \neq j \leq n</math> 都有 <math>\langle v_i,\,v_j \rangle = 0</math> 則：
:<math> \sum_{i=1}^n \|v_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n v_i \right\|^2</math>
}}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
根據[[内积空间#正式定义|內積定义]]和上面的一般線性性質有
:<math>\begin{align}
\left\|\sum_{i=1}^{n} v_i \right\|^2
& = \left\langle \sum_{i=1}^{n} v_i
,\, \sum_{i=1}^{n} v_i\ \right\rangle\\
& = \sum^n_{j=1} \left\langle  v_j
,\, \sum_{i=1}^{n} v_i\ \right\rangle\\
& = \sum^n_{j=1} \sum_{i=1}^{n} \langle v_j,\,v_i \rangle\\
& = \sum^n_{j=1} {\|v_j\|}^2
\end{align}</math>
故得証。<math>\Box</math>
|}

{{Math theorem
| name = [[平行四边形恒等式]]
| math_statement = <br />
<math>V</math> 是個複內積空間，則對所有的 <math>v,\,w \in V</math> 有：
:(a) <math>  \|v \oplus w\|^2 + \|v \ominus w\|^2 = 2\|v\|^2 + 2\|w\|^2 </math>
}}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
根據[[内积空间#正式定义|內積定义]]和[[向量空间#基本性质|向量空间的基本運算性质]]有

<math>\begin{align}
{\|v \oplus w\|}^2
& =  \langle v \oplus w,\, v \oplus w \rangle\\
& = {\|v\|}^2 + \langle v,\,w \rangle + \langle w,\, w \rangle + {\|w\|}^2\\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
{\|v \ominus w\|}^2
& =  \langle v \oplus (w^{-1}),\, v  \oplus (w^{-1}) \rangle\\
& = {\|v\|}^2 + \langle v,\,(-1) \cdot w \rangle + \langle (-1) \cdot w,\, v \rangle + \langle (-1) \cdot w,\, (-1) \cdot w \rangle\\
& = {\|v\|}^2 - \langle v,\, w \rangle - \langle w,\, v \rangle + {\|w\|}^2
\end{align}</math>

故得証。<math>\Box</math>
|}

== 完备化 ==
如果 <math>V</math> 是個複內積空間，可以定義一個[[函数]] <math>d:V \times V \to \R</math> 且 <math>d(v,\,w) = \|v \ominus w\|</math>，根據上面的三角不等式和[[内积空间#正式定义|內積定义]]，<math>(V,\,d)</math>  的確是個[[度量空间]]。

在[[希尔伯特空间]]的文章中有一些内积空间的例子，其中引出自内积的度量诱导一个[[完备空间|完备]]的度量空间。然而也存在诱导不完备度量空间的内积，比如在区间<math>[a, b]</math>上连续复数值函数的空间<math>\mathcal{C}[a, b]</math>上。内积是
<center><math> \langle f , g \rangle := \int_a^b f(t) \overline{g(t)} \, dt </math></center>

这个空间是不完备的；比如考虑对于区间<math>[0,1]</math>，考虑函数序列<math>\{ f_k \}_{k\in\mathbb{N}}</math>，其中 
:<math>\forall k \geqslant 2, \; \; \; f_k (t) =
\begin{cases}
 0, & \forall t \in [0, \frac12 ] \\
 k(t - \frac12 ), & \forall t \in ( \frac12 , \frac12 + \frac1k ] \\
 1, & \forall t \in ( \frac12 + \frac1k , 1 ]
\end{cases}</math>
每个<math>f_k</math>都是连续函数，但<math>\{ f_k \}_{k\in\mathbb{N}}</math>在上面的内积诱导的拓扑中是不收敛于任何一个连续函数的柯西序列，因为它的极限不是连续的函数。

==在内积空间上的算子==

希尔伯特算子，协方差算子

== 退化内积 ==

== 引用 ==
* S. Axler, ''Linear Algebra Done Right'', Springer, 2004
* G. Emch, ''Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory'', Wiley Interscience,  1972.
* N. Young, ''An Introduction to Hilbert Spaces'', Cambridge University Press, 1988

{{线性代数的相关概念}}

[[Category:泛函分析|N]]
[[Category:赋范空间|N]]
[[Category:双线性形式|N]]