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{{dablink|本文介绍外代数中的运算。关于其他常称作'''内积'''的相关二元运算，参见[[内积]]。}}

在[[数学]]中，'''内乘'''（{{lang-en|interior product}}，或译'''内积'''）是[[光滑流形]]上的[[微分形式]][[外代数]]上一个[[分次代数|次数]]为 &minus;1 [[导子]]，定义为微分形式与一个向量场的[[张量缩并|缩并]]。从而如果 ''X'' 是流形 ''M'' 上一个向量场，那么

:<math>\iota_X\colon \Omega^p(M) \to \Omega^{p-1}(M)</math>
是将一个 ''p''-形式 ''&omega;'' 映为 (''p''&minus;1)-形式 ''i''<sub>''X''</sub>''&omega;''，由性质 
:<math>( \iota_X\omega )(X_1,\ldots,X_{p-1})=\omega(X,X_1,\ldots,X_{p-1})</math>
所定义，对任何向量场 ''X''<sub>1</sub>,..., ''X''<sub>''p''&minus;1</sub>。本质上来说，内乘可以定义在向量空间与[[外代数]]上，即只与流形的一点有关。

内乘也称为内乘法（{{lang|en|interior}} 或 {{lang|en|inner multiplication}}），或内导数（{{lang|en|inner derivative}} 或 {{lang|en|derivation}}）。

一些作者使用字母 <math>i</math> 代替 <math>\iota</math>；内乘有时也写成 <math>\iota(X)</math> 或者 <math>X \lrcorner \omega = \iota_X\omega </math>。

==性质==

由反对称性

:<math> \iota_X \iota_Y \omega = - \iota_Y \iota_X \omega </math>

所以 <math> \iota_X^2 = 0 </math>。

因为李导数与缩并可以交换，故：
:<math>\mathcal L_X (\iota_Y\omega)=\iota_{[X,Y]}\omega+\iota_Y (\mathcal L_X\omega)\ ,</math>
这便得出两个向量李括号的内乘公式：
:<math>\iota_{[X,Y]}\omega=\mathcal L_X (\iota_Y\omega)-\iota_Y (\mathcal L_X\omega)\ .</math>

内乘与微分形式的[[外导数]]以及[[李导数]]的关系由'''嘉当恒等式'''给出：

:<math> \mathcal L_X\omega = \mathrm d (\iota_X \omega) + \iota_X \mathrm d\omega \ .</math>

这个等式在[[辛几何]]中非常重要：参见[[矩映射]]。

==另见==
* [[张量缩并]]

{{数学小作品}}

[[Category:微分形式|N]]
[[Category:多重线性代数|N]]