查看“︁典型群”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{李群}}
在[[數學]]中，'''典型群'''（{{lang|en|classical group}}）指與[[歐幾里得空間]]的[[對稱群|對稱性]]密切相關的四類[[李群]]。所謂「古典」的使用取決於當下語境，有一定的靈活性。這個用法可能源於[[赫爾曼·外爾]]在1939年發表的專著《古典群：它們的不變量和表式》。在[[菲利克斯·克萊因]]的[[愛爾蘭根綱領]]觀點下，也許反映了它們和“-{zh-hans:經典;zh-hant:古典;}-”幾何（{{lang|en|classical geometry}}）的關系。

古典群是最被深入研究的線性李群，多數的古典群在古典物理與近代物理皆有應用。例如， <math>\operatorname{SO}(3)</math> 對應到[[歐幾里得空間]]的旋轉，是古典物理中許多對稱性的基礎；[[勞侖茲群]] <math>\operatorname{O}(1,3)</math> 描述了[[狹義相對論]]中時空的對稱性。其他還有[[特殊么正群]] <math>\operatorname{SU}(3)</math> 在[[量子色動力學]]、以及[[辛群|扭對稱群]] <math>\operatorname{Sp}(m)</math> 在[[量子力學]]中皆有廣泛應用。

有時在緊群的限制下討論古典群，這樣容易處理它們的[[群表示論|表示論]]和[[代數拓撲]]。但是這把[[一般線性群]]排除在外，當前都認為一般線性群是最古典的群<ref>就歷史來說，在克萊因時代，最明顯的例子是覆[[射影線性群]]，因為它是當時居統治地位的幾何觀念的複[[射影空間]]的對稱群。[[向量空間]]後來才出現（事實上作為抽象的代數概念由外爾引入），引起對它們的對稱群一般線性群的關注。在[[朗蘭茲綱領]]的發展中，一般線性群成為最簡單和普遍的主要情形。</ref>。

和典型李群相對的是[[例外李群]]，具有一樣的抽象性質，但不屬於同一類。

== 和双线性形式的关系 ==
典型李群共同的特点是它们都与某个特定的[[双线性形式|双线性]]或[[半双线性形式|半双线性]]形式的[[等距同构群]]密切联系。这四类用[[邓肯图]]标记（ <math>n \geq 1</math> ），可以描述为：

* <math>A_n = \operatorname{SU}(n)</math> ，[[特殊么正群]]，行列式为 <math>1</math> 的 <math>n \times n</math> 么正矩阵。
* <math>B_n = \operatorname{SO}(2n+1)</math> ，[[特殊正交群]]， <math>2n+1 \times 2n+1</math> 行列式为 <math>1</math> 的实正交矩阵。
* <math>C_n = \operatorname{Sp}(n)</math> ，[[辛群]]，保持 '''H'''<sup>n</sup> 上的通常内积的 <math>n \times n</math> [[四元数]]矩阵。
* <math>D_n = \operatorname{SO}(2n)</math> ，[[特殊正交群]]， <math>2n \times 2n</math> 行列式为 <math>1</math> 的实正交矩阵。

为了某些特定的目的，去掉行列式为 <math>1</math> 的条件考虑酉群和（不连通）正交群也是自然的。表中所列即为所谓连通[[紧实形式]]群；在复数域中有相应的类比，以及多种非紧形式，例如，和紧正交群一起可考虑[[不定正交群]]。这些群相应的[[李代数]]称为「典型李代数」。

== 一般域或环上的典型群 ==
在代数中，通常會考虑任意環 <math>R</math> 上的典型群，给出特别值得关注的[[矩阵群]]。当矩阵群的系数环是实数或复数域时，这些群就是上述的典型李群。

当系数环是[[有限域]]时，典型群是[[李型群]]。这些群在[[有限单群的分类]]中扮演着重要的角色。在群論中，许多线性群有一个「特殊的」子群，常常由行列式为 <math>1</math> 的元素组成，大部分有一个伴随的「投影」群，它们是除掉該群[[中心 (群论)|中心]]的商群。

“一般”一词在群的名称前面通常表示这个群可以用常数乘以某个形式，而不是保持不变。下标 <math>n</math> 经常表示群作用的模之维数。特别注意：这种记法和 Dynkin 图中的 <math>n</math>（为秩）可能冲突。

=== 一般与特殊线性群 ===
[[一般线性群]] <math>\operatorname{GL}_n(R)</math> 是某个[[模]]的自同构群。有子群[[特殊线性群]] <math>\operatorname{SL}_n(R)</math> ，以及商群[[射影一般线性群]] <math>\operatorname{PGL}_n(R)</math> 和[[射影特殊线性群]] <math>\operatorname{PSL}_n(R)</math> 。当 <math>n \geq 2</math> 的時候，<math>R</math> 上的射影特殊线性群 <math>\operatorname{PSL}_n(R)</math> 为[[单群]]。

=== 酉群 ===
[[酉群]] ''U''<sub>''n''</sub>(''R'') 是保持某个模的[[半双线性形式]]的群。有子群[[特殊酉群]]  ''SU''<sub>''n''</sub>(''R'')，以及他们的商群[[射影酉群]] ''PU''<sub>''n''</sub>(''R'') = ''U''<sub>''n''</sub>(''R'')/''Z''(''U''<sub>''n''</sub>(''R'')) 与[[射影特殊酉群]] ''PSU''<sub>''n''</sub>(''R'') = ''SU''<sub>''n''</sub>(''R'')/''Z''(''SU''<sub>''n''</sub>(''R''))。

=== 辛群 ===
辛群 ''Sp''<sub>2''n''</sub>(''R'') 保持一个模的[[斜对称形式]]。它有一个商群[[射影辛群]] ''PSp''<sub>2''n''</sub>(''R'')。将模的斜对称形式乘以一个可逆纯量的所有自同构组成[[一般辛群]] ''GSp''<sub>2''n''</sub>(''R'') 。除了 ''n''=1 且域的阶数为 2 或 3 这两个例外，域 ''R'' 上射影辛群 ''PSp''<sub>2''n''</sub>(''R'') 是单群。

=== 正交群 ===
[[正交群]] ''O''<sub>''n''</sub>(''R'') 保持一个模的非退化[[二次型]]。有子群[[特殊正交群]] ''SO''<sub>''n''</sub>(''R'')，以及商群[[射影正交群]] ''PO''<sub>''n''</sub>(''R'') 与[[射影特殊正交群]]。在特征为 2 时，行列式总是 1，故特殊正交群常定义为 [[Dickson 不变量]]为 1 的元素。 

有一个没有名字的群，经常记为 Ω<sub>''n''</sub>(''R'')，由所有 [[Spinor 模]]为 1 的正交群中元素组成。相应的子群和商群为 ''S''Ω<sub>''n''</sub>(''R'')，''P''Ω<sub>''n''</sub>(''R'')，''PS''Ω<sub>''n''</sub>(''R'')（对实数域上正定二次型，群  Ω 就是正交群，但一般要比正交群小）。Ω<sub>''n''</sub>(''R'') 也有一个二重覆盖群，称为 [[Spin 群]] ''Spin''<sub>''n''</sub>(''R'')。[[一般正交群]]由在二次型上的作用为乘以一个可逆纯量的自同构组成。

== 參見 ==
* 记号习惯：[[李型群#符号问题]]

== 注释 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{citation
 | last = Artin
 | first = Emil
 | author-link = 埃米尔·阿廷
 | title = Geometric algebra
 | year = 1957
 | publisher = [[Interscience Publishers]]
 | ISBN =  0471608394 
}}
* {{citation
 | last = Dieudonné
 | first = Jean
 | author-link = 让·迪厄多内
 | title = La géométrie des groups classiques
 | year = 1955
 | publisher = [[Springer]]
 | ISBN =  1-114-75188-X
}}
* {{citation
 | last = Weyl
 | first = Hermann
 | author-link = 赫尔曼·外尔
 | title = The Classical Groups: Their Invariants and Representations
 | year = 1939
 | publisher = Princeton University Press
 | ISBN = 0-691-05756-7
}}
* {{Springer|id=C/c022410|title=Classical group|author=V. L. Popov}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:李群|D]]
[[Category:有限群|D]]