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在[[數學]]裡，'''具體範疇'''一般被認為是這樣的一種[[範疇 (數學)|範疇]]，其物件為[[數學結構|結構性]]的[[集合 (数学)|集合]]，態射為結構保持的[[函數]]，而態射複合則為函數複合。其形式定義並不和此直觀完全吻合。

集合與函數的範疇[[集合範疇|'''Set''']] [[當然]]為一具體範疇，因為每個集合都可以被認為戴有一個「當然結構」。更重要的例子還包括了[[拓樸空間]]和[[連續函數]]的範疇[[拓樸空間範疇|'''Top''']]與[[群]]和[[同態]]的範疇[[群範疇|'''Grp''']]。

==定義==

一個'''具體範疇'''為一對(''C'',''U'')，會使得
* ''C''為一範疇，且
* ''U''為一[[忠實函子]]''C'' → '''Set'''。

''U''被認為是一種[[遺忘函子]]，它將''C''中的每個物件指定到其「源集合」中，且將''C''中的每個態射指定至其「源函數」裡。

一個範疇''C''是「可具體」的若存在一個具體範疇(''C'',''U'')，亦即存在一忠實函子''U'' : ''C'' → '''Set'''。

==註記==

1.必須強調的是，和直觀相對地，具體化並不是一個範疇是否需滿足的[[性質]]，而是要看一個範疇是否戴有結構。特別地是，一個範疇''C''可能允許數個映射至'''Set'''的忠實函子。因此，同一個範疇''C''，可能會有數個具體範疇(''C'',''U'')。

但實際上對遺忘函子的選定通常是清楚的，且在此情形之下，可簡單說「具體範疇''C''」。例如，「具體範疇'''Set'''」會是指對('''Set''',''I'')，其中的''I''為[[單位函子]]'''Set''' → '''Set'''。

2.對''U''必須是忠實的要求意指要其將相同物件的不同態射映射至不同的函數上。不過，''U''可能將不同物件映射至同一個集合上，且若此為真，它也會將不同的態射映射至同一個函數上。

例如，若''S''和''T''是兩個在同一集合''X''上的不同拓樸，則(''X'',''S'')和(''X'',''T'')會是在'''Top'''上的不同物件，且其遺忘函子'''Top''' → '''Set'''映射至同一個集合，即''X''上。更甚之，單位態射(''X'',''S'')→(''X'',''S'')和單位態射(''X'',''T'')→(''X'',''T'')被認為是'''Top'''中的不同態射，但會有相同的源函數，即''X''中的單位函數。

類似地，任一有四個元素的集合可以給定兩個非同構的群結構：一個同構於<math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>；另一個則同構於<math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>。

==更多的例子==

1.任一個群''G''可能被視為一個有單一個物件，對每個群內的元素都有一對應的態射的「抽象」範疇，。依據條目頂端所描述的直觀概念，這並不被認為是具體的。但每個忠實[[群作用|''G''-集合]]（等價地說，每個將''G''做為[[置換群|群置換]]的表示）都會決定一個忠實函子''G'' → '''Set'''。當每個群都可以忠實地作用在其本身時，''G''至少有一種方法可以做為一具體範疇。

2.相似地，任一[[偏序集合]]''P''可能被視為一抽象範疇，其帶有一個唯一的態射''x'' → ''y''，若''x'' ≤  ''y''時。可定義一函子''D'' : ''P'' → '''Set'''，將每個物件''x''映射至<math>D(x)=\{a \in P : a \leq x\}</math>且每個態射''x'' → ''y''映射至包括映射<math>D(x) \hookrightarrow D (y)</math>中，以此來做為一具體範疇。

3.物件為[[集合 (数学)|集合]]且態射為[[關係]]的範疇[[關係範疇|'''Rel''']]第一眼看起來會是可具體的。然而，其會等價於一個物件為[[完全格]]且態射為[[完全格|上確界保持映射]]的範疇'''Sup'''。後者是具體的，所以可將'''Rel'''置於'''Rel''' → '''Sup''' → '''Set'''中。若這樣做的話，則'''Rel'''的物件（即集合）的「源集合」不會是它本身，而是它的[[冪集]]。在此意思之下，關係<math>R \subseteq X \times Y</math>的「源函數」即為函數<math>\rho: 2^X \rightarrow 2^Y</math>，其定義為<math>\rho (A)=\{y \in Y : \exists x \in A((x,y)\in R)\}</math>。

4.基於技術上的理由，[[巴拿赫空間]]和[[線性縮約]]的範疇'''Ban'''<sub>1</sub>通常不是帶有「明顯」的遺忘函子，而是將巴拿赫空間映射至其（封閉）[[單位球]]的函子''U''<sub>1</sub> : '''Ban'''<sub>1</sub> → '''Set'''。

5.若''C''為任一小範疇，則存在一忠實函子''P'' : '''Set'''<sup>''C''<sup>op</sup></sup> → '''Set'''，將[[層 (數學)|預層]]''X''映射至乘積<math>\prod_{c \in \mathrm{ob}C} X(c)</math>上。將此和[[米田引理|米田內嵌]]''Y'':''C'' → '''Set'''<sup>''C''<sup>op</sup></sup>複合，可得出一忠實函子''C'' → '''Set'''。

==反例==

其物件為[[拓樸空間]]且態射為[[同倫|同倫類]]的範疇[[同倫範疇|'''hTop''']]為不可能具體化的範疇的一個例子。其中的物件為集合（和附加的結構），態射則不是集合間的真實函數，函數的類。不存在「任何」從'''hTop'''映射至'''Set'''的忠實函子的此一事實是由[[彼德·福瑞]]首先證出。

==具體範疇的內含結構==

給定一具體範疇(''C'',''U'')和任意集合''N''。令''U<sup>N</sup>''為一函子''C'' → '''Set'''，定義為''U<sup>N</sup>(c) =(U(c))<sup>N</sup>''，則U<sup>N</sup>的[[子函子]]被稱為「N元謂詞」且[[自然變換]]''U<sup>N</sup>'' → ''U''為一「N元運算」。

==相對具體==

有可能將範疇'''Set'''替代成任意個範疇''X''（有時稱之為「基範疇」），在具體範疇的定義之下。在此情形下，稱(''C'',''U'')為「在''X''上的具體範疇」。

有時可以將一個''N''類理論的模型做為一個在'''Set'''<sup>''N''</sup>上的具體範疇。

==參考資料==

* Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.;（1990）. [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf ''Abstract and Concrete Categories''] {{Wayback|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |date=20150421081851 }}（4.2MB PDF）. Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.（now free on-line edition）。

* Freyd, Peter;（1970）. [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/6/tr6abs.html ''Homotopy is not concrete''] {{Wayback|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/6/tr6abs.html |date=20200714174249 }}.  Originally published in: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Republished in a free on-line journal: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6（2004）, with the permission of Springer-Verlag.
 
{{範疇論}}
[[Category:範疇論|J]]