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{{unreferenced|time=2012-01-08T00:37:43+00:00}}
{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:数学对象;zh-tw:數學物件;
}}
在[[數學]]上，'''關係'''是對如[[等於]]''<math>=</math>''或[[序理論|序]]''<math><</math>''等[[二元關係]]的廣義化。

== 簡介 ==

參考一個如「''X''認為''Y''喜歡''Z''」之類的關係，其實際情形如下：

{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:center; width:60%"
|+ '''關係S :  X認為Y喜歡Z'''
|- style="background:paleturquoise"
! X !! Y !! Z
|-
| 韻如 || 凯文 || 佳馨
|-
| 正乾 || 韻如 || 柏豪
|-
| 正乾 || 正乾 || 韻如
|-
| 佳馨 || 佳馨 || 佳馨
|}
<br />

上表的每一行都代表著一個事實，並給出「''X''認為''Y''喜歡''Z''」此類形式的斷言。例如，第一行即表示「韻如認為凯文喜歡佳馨」。上表表示一個在集合''P''上的關係''S''，其中：

: ''P'' = {韻如，凯文，佳馨}

包括表中所有的人物。表中的資料則等同於如下的有序對：

: ''S'' = {(韻如，凯文，佳馨), (正乾，韻如，凯文), (正乾，正乾，韻如), (佳馨，佳馨，佳馨)}

若較不嚴謹些，通常會將''S''(韻如，凯文，佳馨)用來指上表中第一行的同一種關係。關係''S''為「三元」關係，因為每一行都包含了「三個」項目。關係是一個以[[集合論]]中的概念定義出的[[數學物件]]（即關係為{X,Y,Z}的[[笛卡兒積]]的子集），包含了表中所有的訊息。因此，數學上來說，關係純粹是個[[集合 (数学)|集合]]。

== 形式定義 ==

''k''元關係在數學上有兩種常見的定義。

'''定義1'''在集合''X''<sub>1</sub>,…,''X''<sub>''k''</sub>上的'''關係'''''L''是指集合的[[笛卡兒積]]的[[子集]]，寫成''L'' ⊆ ''X''<sub>1</sub> &times;…&times; ''X''<sub>''k''</sub>。因此，在此定義下，''k''元關係就是個[[多元組|''k''元組]]的集合。

第二個定義用到數學上一個常見的習慣－說「某某為一''n''元組」即表示此一某某[[數學物件]]是由''n''組數學物件的描述來判定的。在集合''X''<sub>1</sub>,…,''X''<sub>''k''</sub>上的關係''L''中，會有''k''+1件事要描述，即''k''個集合加上一個這些集合笛卡兒積的子集。在此習慣下，''L''可以說是一個''k''+1元組。

'''定義2'''在集合''X''<sub>1</sub>,…,''X''<sub>''k''</sub>上的'''關係'''''L''是一個''k''+1元組''L'' = (''X''<sub>1</sub>,…, ''X''<sub>''k''</sub>, ''G''(''L''))，其中''G''(''L'')是笛卡兒積''X''<sub>1</sub> &times;…&times; ''X''<sub>''k''</sub>的子集，稱之為''L''的「[[關係圖]]」。

== 例子 ==

=== 可除性 ===

兩個正整數''n''和''m''之間「[[因數|可除性]]」的關係是指「''n'' [[整除]]''m''」。此一關係通常用一特殊的符號「 | 」來表示它，寫成「''n''|''m''」來表示「''n''整除''m''」。

若要以集合來代表這二元關係，即是設正整數的集合''P'' = {1,2,3,…}，然後可除性就是一個在''P''上的二元關係''D''，其中''D''為一包含了所有''n''|''m''的有序對 (''n'',''m'')。

例如，2為4的因數及6為72的因數，則可寫成2|4和6|72，或''D''(2,4)和''D''(6,72)。

=== 共面 ===

對三維空間內的線''L''，存在一個三條線為[[共面]]的三元關係。此一關係「無法」縮減成兩條線共面的二元[[對稱關係]]。

換句話說，若 ''P''(''L'',''M'',''N'')表示線 ''L'',''M'',''N''共面，且''Q''(''L'',''M'')表示線 ''L'',''M''共面，則''Q''(''L'',''M''),''Q''(''M'',''N'')和''Q''(''N'',''L'')不能合起來代表''P''(''L'',''M'',''N'')也是對的；但相反則是正確的（三條共面的線之中的一對必然也會是共面的）。其中有兩個幾何上的反例。

第一個是，如''x''軸、''y''軸和''z''軸之類共點（即交於同一點）的三條線。另一個則是在任一[[三角柱]]上平行的三邊。

若要正確，則必須加上每對線都會相交且相交的點都不同。如此一來，每對線的共面才會意指三條線的共面。

== 關係的性質 ==

数学上更有研究意义的是具有某种性质的关系。一些常见的性质包括：[[自反性]]、[[反自反性]]、[[对称性]]、[[反对称性]]、[[传递性]]。确定一个关系是否具有这些性质，可以通过考察它的[[关系图]]或者是[[关系矩阵]]来做到。

具有自反性、对称性、传递性的关系称作[[等价关系]]。一个常见的例子就是整数的模[[同余]]。

具有自反性、反对称性、传递性的关系称作[[偏序关系]]。例如自然数集上的大于等于就是偏序关系。

== n元谓词 ==

n元'''谓词'''就是含有n个[[变量]]的[[布尔函数|布尔值函数]]。

由于上述的n元关系定义了 (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)属于''R''时唯一的n元谓词（反之亦然），关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的：
:<math>(x_1,x_2,\dotsb)\in R</math>
:<math>R(x_1,x_2,\dotsb)</math>

== 多重关系 ==
许多事物有多个元素两两关系。例如：

1，无穷个質数都是两两互質。例如質数2,3,5,7,11，就是所有質数之间没有公因数，我们知道有无穷的質数两两互質；

2，无穷个区域两两相连。例如，一个汽车轮胎形状的环面可以有7个区域两两相连，有两个洞的曲面可以有8个区域两两相连，有三个洞的曲面可以有9个区域两两相连，...。我们知道可以构造无穷的区域两两相连。

{{Authority control}}
[[Category:集合論基本概念|J]]
[[Category:数学关系|*]]