查看“︁共轭转置”︁的源代码

{{Refimprove|time=2022-08-26T02:36:56+00:00}}

{{NoteTA|G1=Math}}
{{线性代数}}
[[矩阵]]'''<math>A</math>'''的'''共轭转置'''（{{lang-en|conjugate transpose}}，又称'''埃尔米特共轭'''、'''埃尔米特转置'''（{{lang-en|Hermitian transpose}}））<math>A^*</math>的定义为：
:<math>(A^*)_{i,j} = \overline{A_{j,i}}</math>
其中<math>(\cdot)_{i,j}</math>表示矩阵i行j列上的元素，<math>\overline{(\cdot)}</math>表示[[标量 (数学)|标量]]的[[复共轭]]。

这一定义也可以写作：
:<math>A^* = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}}</math>
其中<math>A^\mathrm{T} \,\!</math>是矩阵A的[[轉置矩陣|转置]]，<math>\overline{A}\,\!</math>表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：
* <math>A^* \,\!</math>或<math>A^\mathrm{H} \,\!</math>，常用于[[线性代数]]
* <math>A^\dagger \,\!</math>，普遍用于[[量子力学]]，而同時<math>A^* \,\!</math>只表示為<math>A \,\!</math>的[[複數共軛]]。<ref>Griffiths, ''Introduction to Quantum Mechanics 2nd'', 2005, pg. 443</ref>
* <math>A^+ \,\!</math>（但这一记号通常指矩阵的[[摩尔－彭若斯广义逆]])

注意：某些情况下<math>A^* \,\!</math>也指仅对矩阵元素取复共轭，而不做矩阵转置，切勿混淆。

==实例==
若
:<math>A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}</math> ， 
则
:<math>A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}</math>。

==基本评注==

如果''A''的元素是实数，那么''A''<sup>*</sup>与''A''的转置''A''<sup>T</sup>相等。把复值方块矩阵视为复数的推广，以及把共轭转置视为[[共轭复数]]的推广通常是非常有用的。

元素为<math>a_{ij}</math>的方块矩阵''A''称为：
* [[埃尔米特矩阵]]或自伴矩阵，如果''A'' = ''A''<sup>*</sup>，也就是说，<math>a_{ij}=a_{ji}^*</math>&nbsp;；
* [[斜埃尔米特矩阵]]或反埃尔米特矩阵，如果''A'' = −''A''<sup>*</sup>，也就是说，<math>a_{ij}=-a_{ji}^{*}</math>&nbsp;；
* [[正规矩阵]]，如果''A<sup>*</sup>A'' = ''AA<sup>*</sup>''。

即使''A''不是方块矩阵，''A<sup>*</sup>A''和''AA<sup>*</sup>''仍然是埃尔米特矩阵和[[正定矩阵|半正定矩阵]]。

==性质==

* (''A'' + ''B'')<sup>*</sup> = ''A''<sup>*</sup> + ''B''<sup>*</sup>。 
* (''rA'')<sup>*</sup> =  ''r''<sup>*</sup>''A''<sup>*</sup>，其中''r''为复数，''r''<sup>*</sup>为''r''的复共轭。
* (''AB'')<sup>*</sup> = ''B''<sup>*</sup>''A''<sup>*</sup>，其中''A''为''m''行''n''列的矩阵，''B''为n行p列矩阵。
* (''A''<sup>*</sup>)<sup>*</sup> = ''A'' 。 
* 若''A''为[[方块矩阵|方阵]]，则[[行列式|det]](''A''<sup>*</sup>) = (det A)<sup>*</sup>，且[[矩阵的迹|tr]](''A''<sup>*</sup>) = (tr A)<sup>*</sup> 。 
* ''A''是[[可逆矩阵]]，[[当且仅当]]''A''<sup>*</sup>可逆，且有(''A''<sup>*</sup>)<sup>−1</sup> = (''A''<sup>−1</sup>)<sup>*</sup> 。 
* ''A''<sup>*</sup>的[[特征值]]是''A''的特征值的复共轭。
* <''Ax'',''y''> = <''x'', ''A''<sup>*</sup>''y''>，其中''A''为''m''列''n''行的矩阵，复向量''x''为n维行向量，复向量''y''为m维行向量，<·,·>为复数的[[内积]]。

==推广==
* 从上面给出的最后一个性质可以推出，如果我们把''A''视为从[[希尔伯特空间]]'''C'''<sup>''n''</sup>到'''C'''<sup>''m''</sup>的[[线性变换]]，则矩阵''A''<sup>*</sup>对应于''A''的[[自伴算子]]。于是，希尔伯特空间之间的自伴算子可以视为矩阵的共轭转置的推广。
* 还可以进行另外一种推广：假设''A''是一个从复值[[向量空间]]''V''到''W''的线性映射，那么可以定义[[复共轭线性映射]]和[[线性映射的转置]]，并可以取''A''的共轭转置为''A''的转置的共轭复数。它把''W''的共轭[[对偶空间|对偶]]映射到''V''的共轭对偶。

== 参见 ==
* [[埃尔米特伴随]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

==外部链接==
* {{MathWorld | urlname=ConjugateTranspose |title=Conjugate Transpose}}
* {{planetmath reference|id=4382|title=Conjugate transpose|urlname=conjugatetranspose}}

{{DEFAULTSORT:conjugate transpose}}
[[Category:线性代数]]
[[Category:矩阵]]