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'''共形場論''' (conformal field theory, CFT) ，是在[[共形映射|共形变换]]下[[不變量|不变]]的[[量子场论]]。在二维情况下，有一个局部共形变换的无限维代数，共形场论有时可以精确求解或分类。

共形场论在[[凝聚态物理学]]、[[统计力学]]、[[量子统计力学]]以及[[弦理論|弦论]]中有重要应用。统计系统在[[临界点 (热力学)|热力学临界点]]、凝聚态系统在[[量子临界点]]通常是共形不变的（[[临界现象]]）。

==標度不變性與共形不變性 ==
尽管[[标度不变]]的量子场论有可能不是共形不变的，但这样的例子极少。因此，在量子场论中这两个术语常常当作同义词。事实上标度对称群比共形对称群小。

在一些特殊情况下，由标度不变性可以推出共形不变性，例如二维的[[么正性|幺正]][[紧空间|紧致]]共形场论。

== 维数的讨论 ==

=== 二维 ===
二维共形场论有两种：欧几里得型和洛伦兹型。前者用于统计力学，而后者用于量子场论。可以通过[[威克轉動|威克转动]]把二者联系起来。

二维共形场论在无限维对称群下不变。例如，考虑[[黎曼球面]]上的共形场论。其共形群为[[莫比乌斯变换]]，同构于有限维的PSL(2,'''C''')。但是，无穷小共形变换组成了一个无限维代数，称为Witt代数，这无限个共形变换在<math>\mathbb{C} </math>上没有整体的逆。生成元用整数n来标记

<math>L_n = \frac1{2\pi i}\oint_{z=0}{T_{zz}z^{n+1}dz}</math>

其中<math>T_{zz}</math>是该理论的[[應力-能量張量|能量动量张量]]的无迹部分的全纯部分。例如，对自由标量场

<math>T_{zz}=\frac12(\partial_z\phi)^2</math>

大多数共形場論量子化後會出現'''[[共形反常]]，'''又稱魏尔（Weyl）反常。这导致非平凡中心荷的出现，Witt代数扩展成[[维拉宿代数]]。

这个对称性使我们能够对二维共形场论进行更加细致的分类，这在更高维中是做不到的。尤其是，可以把一个理论中的primary operator的谱与[[中心荷]]的值c对应起来。


物理态组成的[[希尔伯特空间]]是与一个中心荷的值相对应的维拉宿代数的幺正[[模]]。稳定性要求[[哈密顿算符|哈密顿算子]]的能谱非负。令人感兴趣的模是维拉宿代数的最高权重模。


一手徵場是一全純場''W''(''z'')，且在維拉宿代數作用下之變換為

:<math>L_n W(z)=-z^{n+1} \frac{\partial}{\partial z} W(z) -(n+1) \Delta z^n W(z)</math>,
:<math>\bar L_n W(z)=0.\,</math>

类似地，稍作修改就得到反手征场。<math>\Delta</math>称为手征场W的'''共形权重'''。

此外，亚历山大·泽莫洛德奇科夫（Alexander Zamolodchikov）曾證明存在一函數 ''C''，在二维量子场论的重整化群流作用下單調递减，且等於一个2維共形場論的中心荷。此定理称为泽莫罗德奇科夫[[C定理]]，告诉我们二维的重整化群流是不可逆的。

很多时候，我们不仅对算子感兴趣，也对真空态感兴趣。除非c=0，否则不存在状态能够保持全部无穷维对称性。我们能想到的最好的情况是在<math>L_{-1},L_0,L_1,L_i(i>1)</math>下不变。这包含了莫比乌斯子群。共形群的其余部分是自发破缺的。

二维共形场论在统计力学中发挥了重要作用，能够描述许多格点模型的临界点。

=== 二维以上 ===
维数d>2时，共形群局部同构于<math>\mathcal{SO}(d+1,1)</math>或<math>\mathcal{SO}(d,2)</math>。

更高维的共形场论在[[AdS/CFT对偶]]中非常重要，即[[反德西特空間|反德西特空间]]（AdS）中的引力理论等价于AdS边界上的共形场论。著名的例子有d=4，[[N=4超对称杨-米尔斯理论]]，与AdS<sub>5</sub> × S<sup>5</sup>上的[[第二型弦理论|IIB型弦理论]]对偶；d=3,N=6超[[陈-西蒙斯理论]]，与AdS<sub>4</sub> × S<sup>7</sup>上的[[M理论]]对偶。（“超”代表[[超对称]]，d是边界的时空维数）

== 共形对称性 ==
[[共形对称性]]是在标度变化以及具有以下关系的特殊[[共形映射|共形变换]]下的对称性

<math>[P_\mu,P_\nu]=0,
</math>

<math>[D,K_\mu]=-K_\mu,</math>

<math>[D,P_\mu]=P_\mu,</math>

<math>[K_\mu,K_\nu]=0,</math>

<math>[K_\mu,P_\nu]=\eta_{\mu\nu}D-iM_{\mu\nu}</math>

其中<math>P</math>是[[平移]]生成元，<math>D</math>是标度变换生成元。

== 參閱 ==
*[[对数共形场论]]
*[[AdS/CFT对偶]]
* [[算子積展開]]
* [[頂點代數|頂點算子代數]]
*[[Wess-Zumino-Witten模型|WZW模型]]
* [[臨界點]]
*[[超共形代数]]
* [[共形代数]]
* [[共形反常]]
* [[O(N)模型]]
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== 参考资料 ==
{{refbegin}}
* {{cite book |author=Paul Ginsparg |title=''Applied Conformal Field Theory'' |trans-title=应用共形场论 |publisher= |edition= |isbn= |arxiv=hep-th/9108028 |language=en |year=1988}}.
* {{cite book |author1=P. Di Francesco |author2=P. Mathieu |author3=D. Sénéchal |title=''Conformal Field Theory'' |url=https://archive.org/details/conformalfieldth0000difr |trans-title=共形场论 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |location=[[紐約]] |edition= |isbn=0-387-94785-X |language=en |year=1997}}.
* {{cite book |author=A. B Zamolodchikov |title=''Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory'' |trans-title=2维量子场论的无穷共形对称性 |journal=Nucl. Phys. |volume= |issue= |pages=333-380 |language=en |year=1984}}.
* {{cite book |author=A. B Zamolodchikov |title=''Irreversibility Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory'' |trans-title=2维场论重正化群的通量不可逆性 |url=http://www.jetpletters.ac.ru/ps/132/article_2272.shtml |journal=JETP Lett |issue=43 |pages=730-732 |language=ru |year=1986 |access-date=2006-12-08 |archive-date=2020-01-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200107151147/http://www.jetpletters.ac.ru/ps/132/article_2272.shtml |dead-url=no }}

== 延伸閱讀 ==
* {{cite book |author=Martin Schottenloher |title=''A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory'' |trans-title=共形场论的数学导引 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |location=[[Berlin]]; [[Heidelberg]] |edition=2 |isbn=978-3-540-68625-5 |language=en |orig-year=1997 |year=2008}}.
* {{cite book |author=[[Paul Ginsparg]] |title=''Applied Conformal Field Theory'' |trans-title=应用共形场论 |publisher= |edition= |isbn= |arxiv=hep-th/9108028 |language=en |year=}}.
* {{cite book |author1=P. Di Francesco |author2=P. Mathieu |author3=D. Sénéchal |title=''Conformal Field Theory'' |url=https://archive.org/details/conformalfieldth0000difr |trans-title=共形场论 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |location=[[New York]] |edition= |isbn=0-387-94785-X |language=en |year=1997}}.

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20061213041959/http://www.oursci.org/magazine/200209/020924-1.htm 弦论通俗演义（十九）]
{{refend}}
* [http://www.stringwiki.org/wiki/Conformal_Field_Theory Conformal Field Theory] {{Wayback|url=http://www.stringwiki.org/wiki/Conformal_Field_Theory |date=20191017214838 }} page in [http://www.stringwiki.org/wiki/String_Theory_Wiki String Theory Wiki] {{Wayback|url=http://www.stringwiki.org/wiki/String_Theory_Wiki |date=20201112031400 }} lists books and reviews

{{量子场论}}
{{弦理论}}

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[[Category:共形場論|*]]