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在[[數學]]裡，尤其是在[[序理論]]裡，一个[[偏序關係|偏序集合]] ''A'' 的'''共尾性''' cf(''A'') 是指 ''A'' 的[[共尾]]子集的[[勢]]中的最小者。

共尾性的定義依賴於[[選擇公理]]，因为它利用了所有非空的[[基数 (数学)|基數]]集合都有一个最小成员的事实。偏序集合 ''A'' 的共尾性亦可定義成最小的[[序数]] ''x''，使得有着[[值域]]共尾于[[陪域]]的一个从 ''x'' 到 ''A'' 的函数。第二個定義不需要選擇公理也可以有意義。若假設有選擇公理（此條目接下來的部分亦將如此假設），這兩種定義將是等價的。

共尾性也可類似地被定義在[[有向集合]]上，并且用來廣義化[[网 (数学)|网]]中的[[子序列]]概念。

== 例子 ==
*  带有[[最大元]]的偏序集合的共尾性是 1，因为僅獨最大元组成的集合也是共尾的，并且必须包含在所有其他共尾子集中。
** 特别是，任何非零有限序数，或实际上任何有限有向集合的共尾性是 1，因为这种集合有最大元。
* 偏序集合的所有共尾子集必须包含这个集合的所有[[极大元]]。因此有限偏序集合的共尾性等于极大元的数目。
** 特别是，设 ''A'' 是大小为 ''n'' 的一个集合，并考虑包含不多于 ''m'' 个元素的 ''A'' 的子集的集合。这是一个在包含关系下的偏序集合，而且带有 ''m'' 个元素的子集是极大的。所以这个偏序集合的共尾性是 <math>{n \choose m}</math>。
* 自然数集 '''N''' 的子集共尾于 '''N'''，当且仅当它是无限的，因此 <math>\aleph_0</math> 的共尾性是 <math>\aleph_0</math>。所以 <math>\aleph_0</math> 是[[正规基数]]。
* 带有通常次序的[[实数]]集的共尾性是 <math>\aleph_0</math>，因为 '''N''' 共尾于 '''R'''。'''R''' 的通常次序不[[序同构]]于[[连续统的势|实数的势]] ''c''，它有严格大于 <math>\aleph_0</math> 的共尾性。这说明了共尾性依赖于次序；在同一个集合上不同的次序有不同的共尾性。

==性质==
如果 ''A'' 容纳[[全序关系|全序]]共尾子集，则我们可以找到是良序的并共尾于 ''A'' 的一个子集 ''B''。''B'' 的任何子集也是良序的。如果 ''B'' 的两个良序子集有极小的势（就是说它们的势是 ''B'' 的共尾性），则它们相互序同构。

== 序数和其他良序集合的共尾性 ==
'''序数''' <math>\alpha</math> 的'''共尾性'''是能夠作为 <math>\alpha</math> 某個共尾子集的[[序类型]]的最小序数 <math>\delta</math>。而序数的集合或任何其他[[良序集合]]的共尾性是該集合的序类型的共尾性。

所以对于[[极限序数]]，存在着一个带有极限 <math>\alpha</math> 的 <math>\delta</math>-标定的严格递增序列。例如，ω² 的共尾性是 ω，因为序列 ω·''m''（这里的 ''m'' 取值在自然数之上）趋向于 ω²；但更一般的说，任何可数的极限序数有共尾性 ω。不可数的极限序数可以有要么同 <math>\omega_\omega</math> 那样的共尾性 ω ，要么有不可数共尾性。
0 的共尾性是 0。任何[[后继序数]]的共尾性是 1。任何极限序数的共尾性至少是 <math>\omega</math>。

== 正规和奇异序数 ==
'''正规序数'''是等于其共尾性的序数。'''奇异序数'''是不正规的任何序数。

所有正规序数都是一个基数的[[初始序数]]。任何正规序数的极限都是初始序数的极限，因而也是初始的，但不一定是正规的。假定选择公理，则对于每个 α， <math>\omega_{\alpha+1}</math> 是正规的。在这种情况下，序数 0, 1, <math>\omega</math>, <math>\omega_1</math>, 和 <math>\omega_2</math> 是正规的，而 2, 3, <math>\omega_\omega</math>, 和 ω<sub>ω·2</sub> 是不正规的初始序数。

任何序数 ''α'' 的共尾性是正规序数，就是说 ''α'' 的共尾性的共尾性同于 ''α'' 的共尾性。所以共尾性运算是等幂的。

==基数的共尾性==
如果 κ 是无限基数，则 cf(κ) 是最小的基数，其使得有一个从它到 κ 的[[有界 (集合论)|无界]]函数；并且 cf(κ) = 使得它们的和为 κ的严格更小的基数的集合的最小搜集的势；更精确地说

:<math>\mathrm{cf}(\kappa) = \inf \left\{ \mathrm{card}(I)\ |\ \kappa = \sum_{i \in I} \lambda_i\ \mathrm{and}\ (\forall i)(\lambda_i < \kappa)\right\}</math>

上面这个集合为非空，根據以下事实

:<math>\kappa = \bigcup_{i \in \kappa} \{i\}</math>

就是说 κ 个单元素集合的[[不交并集]]。这立即蕴涵了 cf(κ) ≤ κ。任何全序集合的共尾性是正规的，所以有着 cf(κ) = cf(cf(κ))。

使用[[König定理]]，对于任何无限基数 κ都可以证明 κ < κ<sup>cf(κ)</sup> 和 κ < cf(2<sup>κ</sup>) 。

后一个不等式蕴涵了连续统的势的共尾性必定是不可数的。在另一方面

:<math> \aleph_\omega = \bigcup_{n < \omega} \aleph_n </math>.

序数 ω 是第一個无限序数，所以 <math>\aleph_\omega</math> 的共尾性是 card(ω) = <math>\aleph_0</math>。（特别是，<math>\aleph_\omega</math> 是奇异的）。因此

:<math>2^{\aleph_0}\neq\aleph_\omega.</math>

（相较于[[连续统假设]]，它声称 <math>2^{\aleph_0}= \aleph_1</math>。）

推广了这个论证，你可以证明对于极限序数 δ

:<math>\mathrm{cf} (\aleph_\delta) = \mathrm{cf} (\delta) </math>.

==参见==
*[[初始序数]]

[[Category:序理论|G]]
[[Category:序数]]
[[Category:基数]]