查看“︁八次方程”︁的源代码

{{roughtranslation|time=2018-02-25T13:55:29+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[File:Polynomial_degree_8.png|右|缩略图|八次函数的图，有8个[[实数]][[根 (数学)|根]]（穿过X轴）和7个[[临界点(数学)|临界点]]。一般来说，取决于局部[[极值]]的数量和垂直位置，实数根的数量可以是8,6,4,2或0。复数根的数量等于8减去实数根的数量 。]]
'''八次方程'''<ref>[[James Cockle]] proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. ([https://books.google.com/books?id=cxIFAAAAQAAJ&pg=PP1#v=onepage&q=sexic%20septic%20octic%20nonic%20decic&f=false ''Mechanics Magazine'', Vol. LV, p. 171] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=cxIFAAAAQAAJ&pg=PP1#v=onepage&q=sexic%20septic%20octic%20nonic%20decic&f=false|date=20200811003341}})</ref>是可以用下式表示的[[方程]]
:<math>ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+k=0,\,</math>
其中{{Math|''a'' ≠ 0}}。

而'''八次函数'''是可以用下式表示的[[函数]]：

<math>f(x)=ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+k,</math>

换句话说，八次函数也就是次数为8次的多项式，若a = 0，则多项式最多只为是七次函数。

若令八次函数{{Math|1=''f''(''x'') = 0}}，即可得到八次方程。

八次方程的系数{{Math|''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f'', ''g'', ''h'', ''k''}}可以是[[整数]]、[[有理数]]、[[复数 (数学)|复数]]或是任何一种[[体 (数学)|域]]的元素。

由于一个八次函数是由偶数多项式定义，当变元往正值或负值[[无穷]]时，它拥有一样的無窮的極限。如果[[系数|首项系数]]a是正值，那么函数在两边增加到正无穷大；因此该函数具有全域極小值。同样地，如果a是负值，八次函数减少到负无穷大和具有全域極大值。八次函数的[[导数]]是七次函数。

== 八次方程求根 ==
透过[[阿贝尔-鲁菲尼定理]]，就其参数而言没有一般的[[代數式]]能解八次方程。然而，一些八次方的子类(sub-classes)有这样的公式。

普通的，具有正值k的形式的八次方程

<math>x^8=k</math>

具有解

<math>x_i=k^{1/8}\omega_i\, , \quad i=1, \dots , 8,</math>

其中<math>\omega_i</math>是在[[复平面]]中第i个[[单位根|1的8次方根]]。

可以通过因式分解或在变量{{Math|''x''<sup>4</sup>}}中

<math>ax^8+ex^4+k=0</math>

应用[[二次方程]]来求解形式的八次方程。

<math>x^4=y</math>

得出<math>ay^2+ey+k=0</math>

<math>y_{1,2}={{-e\pm\sqrt{e^2-4ak}} \over {2a}}\,\!</math>

<math>x_{1,2,3,4}=\sqrt[4]{y_1}</math>

<math>x_{5,6,7,8}=\sqrt[4]{y_2}</math>

可以使用变量{{Math|''x''<sup>2</sup>}}中的[[四次函數|四次方程]]

<math>ax^8 +cx^6+ex^4+gx^2+k=0</math>

令<math>x^2=y</math>得出四次方程

<math>ay^4+cy^3+ey^2+gy+k=0</math>

得出<math>y_1,y_2,y_3,y_4</math>

<math> x_{1,2}=\pm\sqrt{y_1} </math>

<math> x_{3,4}=\pm\sqrt{y_2} </math>

<math> x_{5,6}=\pm\sqrt{y_3} </math>

<math> x_{7,8}=\pm\sqrt{y_4} </math>

== 应用 ==
在某些情况下（如通过垂直线划分成四个相等面积的区域），一个三角形的[[垂直|垂直线]]的四分之一部分是一个八次方程的解。<ref>http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201802.pdf {{Wayback|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201802.pdf |date=20181024162842 }} Carl Eberhart, “Revisiting the quadrisection problem of Jacob Bernoulli”, ''Forum Geometricorum'' 18, 2018, pp. 7–16 (particularly pp. 14–15).</ref>

== 参见 ==
* [[三次方程式|三次方程]]
* [[四次方程式|四次方程]]
* [[五次方程式|五次方程]]

== 參考資料 ==
<references />

{{多項式}}

[[Category:方程]]
[[Category:伽罗瓦理论]]
[[Category:多項式]]