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在[[数学]]中，'''全纯函数演算'''（holomorphic functional calculus）是[[全纯函数]]的一种[[函数演算]]。也就是说其目标在于，对于给定的一个全纯函数 <math>f</math> 和一个[[算子]] <math>T</math> ，希望构造一个对应的算子 <math>f(T)</math> ，使得 <math>f</math> 的定义域从复数推广到算子。更准确地说，函数演算根据 <math>f</math> 来定义 <math>T</math> 的[[谱 (泛函分析)|谱]]的邻域到有界算子的[[连续函数|连续]][[代数同态]]。

本文将讨论 <math>T</math> 是某个[[巴拿赫空间]]上的[[有界线性算子]]的情况。特别地， <math>T</math> 可以是[[复数 (数学)|复数]]所构成的[[方阵]]，这类例子有助于解释定义函数演算的一般性构造时所涉及的假设，提供一些启发性的见解。

== 动机 ==

=== 为何需要更一般的函数演算 ===
在本节中，假定 <math>T</math> 是一个 <math>n\times n</math> 的复数矩阵。

如果给定的函数 <math>f</math> 是一些特别的函数，那么就有一些自然的方式来定义 <math>f(T)</math> 。例如，如果

: <math>p(z)= \sum_{i=0}^m a_i z^i</math>

是一个复[[多項式|多项式]]，那么可以简单地用 <math>T</math> 代替 <math>z</math> 并定义

: <math>p(T) = \sum_{i=0}^m a_i T^i</math>

其中 <math>T^0 = I</math> ，即[[單位矩陣|单位矩阵]]。这就是'''多项式函数演算'''。它是从[[多项式环]]到 <math>n\times n</math> 矩阵环的同态 <math>p\mapsto p(T)</math>。

现在把函数演算的定义域从多项式稍微扩大一点，考虑处处全纯的函数（[[整函数]]） <math>f: C \to C</math> ，它具有[[麦克劳林级数]]

: <math>f(z)= \sum_{i=0}^{\infty} a_i z^i,</math>

模仿多项式的情况即可给出如下定义：

: <math>f(T)= \sum_{i=0}^{\infty} a_i T^i.</math>

由于麦克劳林级数处处收敛，因此上述级数将在选定的[[算子范数]]中收敛。[[矩阵指数]]就是一个例子。将 <math>f(z) = e^z</math> 的麦克劳林级数中的 <math>z</math> 替换为 <math>T</math> 得出

: <math>f(T) = e^T = I+T+\frac{T^2}{2!}+\frac{T^3}{3!}+\cdots.</math>

「 <math>f</math> 的麦克劳林级数处处收敛」这一要求是可以一定程度上放宽的。从上面可以明显看出，实际上只需要麦克劳林级数的收敛半径大于该算子的范数 <math>\|T\|</math> 。可如此定义算子版本的函数 <math>f</math> 因此会更多。然而，这还不太令人满意。例如，矩阵理论中的一个事实是，每个非奇异的 <math>T</math> 都有一个[[矩阵对数|对数]] <math>S</math> ——也就是说能找到矩阵 <math>S</math> 使得 <math>e^S = T</math> 。希望有一种函数演算，它允许人们为任意非奇异的 <math>T</math> 定义 <math>\ln(T)</math> ，使其与熟悉的 <math>S</math> 一致。[[幂级数]]做不到这一点，比如现在考虑如下的对数函数的幂级数展开

: <math>\ln(z+1) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \cdots, </math>

它仅收敛于开单位圆盘上。如果在级数中用 <math>T</math> 代替 <math>z</math> ，在 <math>T+I</math> 可逆但 <math>\|T\|\geq1</math> 的情况下 <math>\ln (T+I)</math> 仍无法被该级数定义。因此需要一种更通用的函数演算。

=== 函数演算和谱 ===
希望 <math>f(T)</math> 有意义的必要条件是 <math>f</math> 被定义在 <math>T</math> 的[[谱 (泛函分析)|谱]]上。例如，正规矩阵的谱定理指出正规矩阵都是可酉对角化的。从而当 <math>T</math> 是正规算子时，可以给出 <math>f(T)</math> 的一个定义。如果对于 <math>T</math> 的某些本征值 <math>\lambda</math> ，<math>f(\lambda)</math> 没有定义， <math>f(T)</math> 的定义就会遇到困难。

其他迹象也强化了「只有当 <math>f</math> 在 <math>T</math> 的谱上有定义时， <math>f(T)</math> 才能被定义」这样的判断。如果 <math>T</math> 不可逆，则 0 将是其本征值（别忘了在本节中 <math>T</math> 是方阵）。由于自然对数在 0 处未定义，那么 <math>\ln(T)</math> 无法自然地定义也是意料之中的了。事实也确实如此不存在一种定义来做到这一点。

再举个例子，对于

: <math>f(z)=\frac{1}{(z-2)(z-5)}</math>

一种计算 <math>f(T)</math> 的合理方法似乎是

: <math>f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,</math>

但是，如果右侧的逆不存在，即 2 或 5 是 <math>T</math> 的[[特征值和特征向量|本征值]]时，此式则是未定义的。

对于给定的矩阵 <math>T</math> ，其本征值决定了 <math>f(T)</math> 可被定义的程度；即，对于 <math>T</math> 的所有本征值 <math>\lambda</math> ， <math>f(\lambda)</math> 都须有定义。对于一般的有界算子，此条件转化为「 <math>f</math> 须在 <math>T</math> 的[[谱 (泛函分析)|谱]]上有定义」。可以证明这个条件使得函数演算映射（指的是前文提及的代数同态）得以具有某些理想的属性。

== 有界算子的函数演算 ==
[[File:Functional_calculus_illustration1.png|right|thumb|谱 σ(T) 为浅蓝色，路径 γ 为红色。]]
[[File:Functional_calculus_illustration2.png|right|thumb|当谱有多个[[連通分支 (拓撲)|连通分量]]和对应的路径 γ 时的情况。]]
[[File:Functional_calculus_illustration3.png|right|thumb|当谱不是[[單連通|单连通]]时的情况。]]
设 <math>X</math> 为复巴拿赫空间， <math>L(X)</math> 是 <math>X</math> 上的有界算子族（这些算子也构成一个巴拿赫空间）。

回忆一下复分析中的[[柯西積分公式|柯西积分公式]]。令 <math>f: \mathbb C \to \mathbb C</math> 在某个[[开集]] <math>D\subset \mathbb C</math> 上全纯，而 <math>\Gamma</math> 是 <math>D</math> 中的[[弧长|可求长]]的[[若尔当曲线]]，即有限长度的无自交的闭曲线。假定位于 <math>\Gamma</math> ''内部''的点（即，使得 <math>\Gamma</math> 关于 <math>z</math> 的[[卷绕数]]为 1 的点）的集合 <math>U</math> 满足 <math>U\subset D</math> 。柯西积分公式即

: <math>\forall z\in U, \quad f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int\nolimits_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta .</math>

现在试着将这个公式推广到在 <math>L(X)</math> 中取值的函数。柯西积分公式暗示了以下定义（姑且只是形式上写下这个式子，没有严格定义）：

: <math>f(T)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta,</math>

其中 <math>(\zeta-T)^{-1}</math> 称为是 <math>T</math> 在 <math>\zeta</math> 处的[[预解式|预解算子]]。

假设已适当定义了在巴拿赫空间内取值的积分，则如此给出的函数演算蕴含了以下必要条件：

# 由于标量版本的柯西积分公式的适用对象是全纯的 <math>f</math> ，料想巴拿赫空间情况也是如此：在巴拿赫空间 <math>L(X)</math> 中取值的函数应该有一个对标于普通复变函数的全纯性的概念。
# 由于预解映射 <math>\zeta\mapsto(\zeta-T)^{-1}</math> 在 <math>T</math> 的谱 <math>\sigma(T)</math> 上无定义，因此若尔当曲线 <math>\Gamma</math> 应是与 <math>\sigma(T)</math> 不相交的。而预解映射在 <math>\sigma(T)</math> 的补集上是全纯的。那么，为了得到一个非平凡的函数演算 <math>\Gamma</math> 必须包围着（至少一部分）的 <math>\sigma(T)</math> 。
# 上述积分式的结果须独立于 <math>\Gamma</math> 的选择。

函数演算的完整定义如下： 对于<math>T\in L(X)</math> ，定义

: <math>f(T)=\frac{1}{2\pi i}\int\nolimits_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta,</math>

其中 <math>f</math> 是在开集 <math>D\subset \mathbb C</math> 上定义的全纯函数，且谱集 <math>\sigma(T)\subset D</math> ；<math>\Gamma = \{ \gamma_1, \dots, \gamma_m \}</math> 是 <math>D</math> 中这样的一系列不相交若尔当曲线的集合，其是一个“内部”集合 <math>U\supset \sigma(T)</math> 的边界，并且每个作为边界 <math>\gamma_i</math> 的都是定向了的（参见{{Tsl|en|Curve orientation|曲线的定向}}和[[可定向性]]）。

开集 <math>D</math> 可以随 <math>f</math> 变化，也不必是[[连通空间|连通]]或[[單連通|单连通]]的，如右图所示。

接下来的小节将对定义中所涉及的一些概念进行更精确的说明，并展现 <math>f(T)</math> 在给定假定下确实是良定义的。

=== 巴拿赫空间值积分 ===
{{主条目|博赫纳积分}}

:

对于定义于 <math>\Gamma</math> 的开邻域上并在以 <math>L(X)</math> 为[[到达域]]的连续函数 <math>g</math> ，[[围道积分]] <math>\int_{\Gamma} g</math> 的定义方式与标量值函数情况相同。可以用一个实数的区间 <math>[a,b]</math> 来参数化每个 <math>\gamma_i \in \Gamma</math> ，并且积分是从 <math>[a,b]</math> 的越来越精细的划分中所获得的[[黎曼和]]的极限，而黎曼和在[[算子拓扑|一致算子拓扑]]中收敛。从而可以定义

: <math>\int_{\Gamma} g = \sum\nolimits_i \int_{\gamma_i} g.</math>

在函数演算的定义中，假定了 <math>f</math> 在 <math>\Gamma</math> 的开邻域内全纯。下面将证明解析映射在所谓''预解集''上是全纯的，而使得积分

: <math>\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta</math>

有意义。

=== 预解映射 ===
映射 <math>\zeta\mapsto(\zeta-T)^{-1}</math> 称为 <math>T</math> 的[[预解映射]]。它定义在谱 <math>\sigma(T)</math> 的补集上，称为 <math>T</math> 的[[预解集]]，记作 <math>\rho(T)</math> ，其中的元素称为'''常点'''（regular point）。

经典函数理论的许多结论都依赖于积分

: <math>\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{d \zeta}{\zeta-z}</math>

的性质。

全纯函数演算在这方面也有些相似：对于一个好的函数演算的性质而言，预解映射是至关重要的。本小节概述为讨论此话题所必需的一些预解映射的性质。

==== 第一预解方程 ====
直接计算可知，对于 <math>z_1, z_2\in \rho(T)</math> ，有

: <math>(z_1 - T)^{-1} - (z_2 - T)^{-1} = (z_1 - T)^{-1} (z_2 - z_1) (z_2 - T)^{-1}.\,</math>

于是，

: <math>(z_1 - T)^{-1} (z_2 - T)^{-1} = \frac{(z_1 - T)^{-1} - (z_2 - T)^{-1} }{(z_2 - z_1)}.</math>

这个方程称为'''第一预解方程'''。该公式显示 <math>(z_1-T)^{-1}</math> 和 <math>(z_2-T)^{-1}</math> 是[[对易]]的，这暗示了一个算子 <math>T</math> 所给出的全纯函数演算映射的到达域将是一个交换代数。考虑 <math>z_2\to z_1</math> 的极限，可以看出预解映射在任意 <math>z_1\in \rho(T)</math> 处是（复）可微的；因此全纯函数演算表达式中的积分收敛于 <math>L(X)</math> 。

==== 解析性 ====
关于预解映射，还能有比可微性更强的论断：预解集 <math>\rho(T)</math> 实际上是这样一个开集，其上的预解映射都解析。为验证这一说法，考虑预解集中一点 <math>z_1\in \rho(T)</math> ，并观察下面这个式子

: <math>\frac{1}{z_2 - z} = \frac{1}{z_1 - z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z_1 - z_2}{z_1 -z}} .</math>

将 <math>z</math> 替换为 <math>T</math> 时，更合适的做法是将右边的因子改为这样一个级数：

: <math>(z_1 - T)^{-1} \sum _{n \geq 0} \left((z_1 - z_2) (z_1 - T)^{-1} \right)^n .</math>

它在<math>L(X)</math> 中收敛的条件是

: <math>|z_1 - z_2| < \frac{1}{\left \|(z_1 - T)^{-1} \right \| },</math>

这就是其收敛半径。而它的收敛意味着 <math>(z_2-T)^{-1}</math> 的存在性，进而意味着 <math>z_2\in \rho(T)</math> 。

由此可知预解集 <math>\rho(T)</math> 是开集，预解映射在 <math>\rho(T)</math> 上解析。

==== 诺伊曼级数 ====
<math>(z-T)^{-1}</math> 的另一个表达式也很有用。下面形式的表达式

: <math>\frac{1}{z - T} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{T}{z}}</math>

可以注意到级数

: <math>\frac{1}{z} \sum _{n \geq 0} \left(\frac{T}{z}\right)^n,</math>

即{{Tsl|en|Neumann series|诺依曼级数}}，它收敛于 <math>(z-T)^{-1}</math> 的条件是

: <math>\left\| \frac{T}{z} \right\| < 1, \; \text{i.e.} \; |z| > \|T\|.</math>

==== 谱集的紧致性 ====
从预解算子的上面的两个性质，可以推断出一个有界算子 <math>T</math> 的谱 <math>\sigma(T)</math> 是 <math>\mathbb C</math> 的紧子集。因此，对于任何满足 <math>D\supset\sigma(T)</math> 的开集  <math>D</math> ，存在一个正定向且光滑的若尔当曲线系 <math>\Gamma = \{ \gamma_1, \dots, \gamma_m \}</math> 使得 <math>\sigma(T)</math> 在 <math>\Gamma</math> 的内部且 <math>D</math> 的补集在 <math>\Gamma</math> 的外部。因此，要定义一个函数演算，总能为每个在 <math>D</math> 上全纯的 <math>f</math> 找到合适的一族若尔当曲线。

=== 积分围道的选取 ===
前面的讨论已经表明该积分式是有意义的，即对于每个 <math>f</math> 确实存在一族合适的若尔当曲线 <math>\Gamma</math> 且积分确实在适当的意义上收敛。眼下尚未示明的是，函数演算是无歧义的，也就是说不依赖于 <math>\Gamma</math> 的选取。现在尝试解决这个问题。

==== 一个先导的结论 ====
对于若尔当曲线的集合 <math>\Gamma = \{ \gamma_1, \dots, \gamma_m \}</math> 和点 <math>a\in\mathbb C</math> ， <math>\Gamma</math> 相对于 <math>a</math> 的卷绕数是其成员各自的卷绕数之和。如果定义：

: <math>n(\Gamma, a) = \sum\nolimits_i n(\gamma_i, a),</math>

就有柯西给出的以下定理：<blockquote>'''定理'''  设 <math>G\subset \mathbb{C}</math> 为开集且 <math>\Gamma\subset G</math> ，此外有一全纯函数 <math>g:G\to \mathbb{C}</math> ，且对于补集中的 <math>a\in G^-=\mathbb{C}-G</math> 有 <math>n(\Gamma, a)=0</math> ，那么 <math>g</math> 在 <math>\Gamma</math> 上的围道积分为零。</blockquote>当 <math>g</math> 在 <math>L(X)</math> 中取值时，会需要这个结论的向量值版本。为此须考察全纯的 <math>g:G\to L(X)</math> ，而对 <math>\Gamma</math> 的要求则和前文保持相同。推广的思路是使用 <math>L(X)</math> 的[[对偶空间]] <math>L(X)^{*}</math> ，从而得到标量并应用标量版本的柯西定理。

考虑积分

: <math>\int_{\Gamma} g \in L(X), </math>

如果可以证明任一 <math>\varphi \in L(X)^{*}</math> 作用在这个积分上都得到零，那么积分本身就必须为零。由于 <math>\varphi</math> 有界且积分依范数收敛，可得：

: <math>\phi \left (\int_{\Gamma} g \right ) = \int_{\Gamma} \phi \circ g.</math>

但 <math>g</math> 是全纯的，因此复合 <math>\varphi \circ g : G\subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> 是全纯的，因此可以应用柯西定理：

: <math>\int_{\Gamma} \phi \circ g = 0.</math>

==== 回到主论题 ====
令 <math>D</math> 为包含 <math>\sigma(T)</math> 的开集。假设有个符合前文要求的若尔当曲线系 <math>\Gamma = \{\gamma_i\}, \Omega = \{\omega_{j}\} </math> ，所要证明的是

: <math> \int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta = \int_{\Omega} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta .</math>

设反转 <math>\Omega </math> 中每个 <math>\omega_j </math>的定向所得到曲线系是 <math>\Omega' </math> ，则

: <math>\int_{\Omega} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta = - \int_{\Omega'} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta.</math>

考虑两个曲线系的并集 <math>\Gamma \cup \Omega' </math> 。 <math>\Gamma \cup \Omega' </math> 和 <math>\sigma(T) </math> 都是紧的。因此存在某个开集 <math>U </math> 满足 <math>U\supset\Gamma \cup \Omega' </math> 且 <math>\sigma(T)\subset U^- </math> ，其中 <math>U^- </math> 是 <math>U </math> 的补集。 <math>U^- </math> 中的任意<math>a </math> 的卷绕数为 <math>n(\Gamma\cup\Omega', a ) = 0 </math>{{Clarify|reason=This is an incorrect claim, unless we also require that U contain the image of a homotopy (or homology) from Gamma to Omega.|date=2017年1月}}，并且函数

: <math>\zeta \rightarrow \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}</math>

''在'' <math>U </math> 上全纯。因此柯西定理的向量值版本给出

: <math>\int_{\Gamma \cup \Omega'} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta = 0</math>

也就是说

: <math>\int_{\Gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta + \int_{\Omega'} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta = \int_{\Gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta - \int_{\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta = 0.</math>

于是证明了全纯函数演算所给出的算子与积分围道的选取无关。

因此，如果 <math>f_1 </math> 和 <math>f_2 </math> 是在 <math>\sigma(T) </math> 的邻域 <math>D_1</math> 和 <math>D_2</math> 上定义的两个全纯函数，并且它们在一个包含 <math>\sigma(T) </math> 的开集上相等，则 <math>f_1(T)=f_2(T) </math> 。此外，即使 <math>D_1</math> 可能不同于 <math>D_1</math> ，算子 <math>(f_1+f_2)(T) </math> 也是良定义的，<math>(f_1 \cdot f_2)(T) </math> 也是如此。

=== 关于在谱集上全纯的假定 ===
到目前为止，这一假设的全部强度尚未得到充分利用。要使积分收敛，仅需要连续性。要使积分良定义，只需要 <math>f </math> 在包含围道 <math>\Gamma \cup \Omega' </math> 的开集 <math>U </math> 上是全纯的，而不必也要求在 <math>\sigma(T) </math> 上全纯。在展现函数演算的同态性质时，才会完整地用到该假定。

== 性质 ==

=== 多项式情况 ===
映射 <math>f\mapsto f(T) </math> 的线性源自积分的收敛性以及巴拿赫空间上线性运算的连续性。

当 <math>f(z) = \sum_{0\leq k\leq m} a_k z^k </math> 是多项式时，便回到多项式函数演算的情况。为证明这一点，只需证明，当 <math>k\geq 0, f(z)=z^k </math> 时，有 <math>f(T)=T^k </math> 成立——也就是说等式

: <math>\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{\zeta ^k}{\zeta - T} \, d\zeta = T^k</math>

对于任何包含 <math>\sigma(T) </math> 的适当的 <math>\Gamma </math> 成立。若选择 <math>\Gamma </math> 作为半径大于 <math>\|T\| </math> 的圆，前文已阐明此时可以将预解映射表示为一个幂级数

: <math>( z - T)^{-1} = \frac{1}{z} \sum_{n \geq 0} \left( \frac{T}{z} \right)^n.</math>

将其代入要证的等式就得到

: <math>f(T) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \left( \sum_{n \geq 0} \frac{T^n}{\zeta^{n+1-k}} \right) \, d\zeta, </math>

而这就是

: <math>\sum_{n \geq 0} T^n \cdot \frac{1}{2 \pi i} \left ( \int_{\Gamma} \frac{d \zeta }{\zeta^{n+1-k}} \right) = \sum_{n \geq 0} T^n \cdot \delta_{nk} = T^k.</math>

其中的 <math>\delta </math> 是[[克罗内克函数]]。

=== 同态性质 ===
对于任何满足适当假设的 <math>f_1 </math> 和 <math>f_2 </math> ，同态性质表明

: <math>f_1 (T) f_2(T) = (f_1 \cdot f_2)(T).\,</math>

将勾勒出一个论证，这会用到第一预解方程和对 <math>f </math> 的假设。首先，选择若尔当曲线使得 <math>\Gamma_1 </math> 位于 <math>\Gamma_2 </math> 的内部，这样做的用意之后就会揭晓。先直接计算得到：

: <math>\begin{align}
f_1 (T) f_2(T) &= \left (\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_1}\frac{f_1(\zeta)}{\zeta-T} d \zeta \right ) \left (\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_2}\frac{f_2(\omega)}{\omega-T}\, d \omega \right )\\
&= \frac{1}{(2\pi i)^2} \int_{\Gamma_1} \int_{\Gamma_2} \frac{f_1(\zeta)f_2(\omega)}{(\zeta-T)(\omega-T)}\; d \omega \, d \zeta \\
&= \frac{1}{(2\pi i)^2} \int_{\Gamma_1} \int_{\Gamma_2} f_1(\zeta) f_2 (\omega) \left ( \frac{(\zeta - T)^{-1} - (\omega - T)^{-1}}{\omega - \zeta} \right ) d \omega \, d \zeta\\
&= \frac{1}{(2 \pi i)^2}\left \{\left (\int _{\Gamma_1} \frac{f_1(\zeta)}{\zeta-T}\left[\int_{\Gamma_2}\frac{f_2(\omega)}{\omega - \zeta} d\omega\right] d \zeta \right )- \left (\int_{\Gamma_2} \frac{f_2(\omega)}{\omega-T}\left[\int_{\Gamma_1}\frac{f_1(\zeta)}{\omega - \zeta}d\zeta\right] d \omega\right)\right \} \\
&= \frac{1}{(2 \pi i)^2} \int _{\Gamma_1} \frac{f_1(\zeta)}{\zeta-T}\left[\int_{\Gamma_2}\frac{f_2(\omega)}{\omega - \zeta} d\omega\right] d \zeta 
\end{align}</math>

第三个等号用到了第一预解方程；最后一个等号是因为： <math>\omega\in\Gamma_{2}</math> 在 <math>\Gamma_2 </math> 的外部，且 <math>f_1 </math> 在 <math>\sigma(T) </math> 的某个开邻域上是全纯的，因此第二项为零。因此，可得：

: <math>\begin{align}
f_1 (T) f_2 (T)&= \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma_1} \frac{f_1 (\zeta)}{\zeta - T}\left[\frac{1}{2 \pi i}\int_{\Gamma_2}\frac{f_2(\omega)}{\omega - \zeta}d \omega\right] d \zeta\\
&= \frac{1}{2 \pi i} \int _{\Gamma_1} \frac{f_1 (\zeta)}{\zeta - T} \left [ f_2 (\zeta) \right ] d \zeta\\
&= \frac{1}{2 \pi i} \int _{\Gamma_1} \frac{f_1 (\zeta) f_2 (\zeta)}{\zeta - T}d \zeta \\
&= (f_1 \cdot f_2)(T) 
\end{align}</math>

其中第二个等号用到柯西积分公式。

设有开集 <math>G</math> 满足 <math>\sigma(T)\subset G\subset \mathbb{C}</math> ， <math>G</math> 上的全纯函数序列 <math>\{f_k\}</math> 在 <math>G</math> 的每个紧子集上都一致收敛（也就是说，[[緊緻收斂|紧致收敛]]）。那么 <math>\{f_{k}(T)\}</math> 在 <math>L(X)</math> 中收敛，接下来说明这一点：

为简单起见，假设 <math>\Gamma</math> 仅由一条若尔当曲线组成。可作如下估计

: <math>\begin{align}
\left \| f_k(T) - f_l(T) \right \| &= \frac{1}{2 \pi} \left\|\int_{\Gamma} \frac{(f_k - f_l)(\zeta)}{\zeta - T} d \zeta \right\| \\
&\leq \frac{1}{2 \pi} \int_{\Gamma} \left |(f_k - f_l)(\zeta) \right | \cdot \left \| (\zeta - T)^{-1} \right \| d \zeta
\end{align}</math>

通过结合一致收敛假设和各种连续性上的考量，可以看到当 <math>k,l\to\infty</math> 时，上式趋于 0 。所以 <math>\{f_{k}(T)\}</math> 是[[柯西序列]]，从而是收敛的。

=== 唯一性 ===
至此已证明了全纯函数演算 <math>f\mapsto f(T) </math> 具有以下性质：

# 它延伸了多项式函数演算。
# 它是从 <math>\sigma(T) </math> 的一个邻域上的全纯函数代数到 <math>L(X) </math> 的代数同态
# 它保持紧集上的一致收敛。

可以证明满足上述性质的函数演算是唯一的。

值得注意的是，如果把有界算子族 <math>L(X) </math> 换成[[巴拿赫代数]]，那么至此的所有讨论都原封不动地保持成立。对于其中的元素，可以采用完全相同的方式定义函数演算。

== 谱理论的考量 ==

=== 谱映射定理 ===
{{主条目|谱映射定理}}
已知'''谱映射定理'''（spectral mapping theorem）对于多项式函数演算成立：对于任何多项式 <math>p </math> ，都有 <math>\sigma(p(T)) = p(\sigma(T)) </math> 。这可以推广到全纯函数演算，也就是说 <math>\sigma(f(T)) = f(\sigma(T)) </math> 。

为证明此式，考虑某一复数 <math>\mu </math> 。先考虑 <math>\mu\in f(\sigma(T))</math> 的情况，这情况意味着 <math>\exists\lambda\in\sigma(T), \mu=f(\lambda)</math> 。

由复分析的结果，存在 <math>\sigma(T) </math> 的邻域上的全纯函数 <math>g</math> 使得

<math>f(z) - \mu = (z - \lambda)g(z).</math>

根据同态性质，有

<math>f(T) - \mu = (T - \lambda)g(T) = g(T)(T - \lambda).</math>

由于 <math>\lambda\in \sigma(T)</math> ， <math>T- \lambda</math> 是不可逆的，那么整个算子 <math>f(T)-\mu</math> 不可能有逆，也就是说 <math>\mu\in \sigma(f(T))</math> 。于是目前证明了 <math>\sigma(f(T)) \supset f(\sigma(T)) </math> 。

现在考虑 <math>\mu\notin f(\sigma(T))</math> 的情况，那么函数

: <math>h(z) = \frac{1}{f(z) - \mu}</math>

在  <math>\sigma(T) </math> 的邻域上全纯，于是根据同态性质可知

<math>h(T)(f(T) - \mu) = I = (f(T)- \mu)h(T),</math>

也就是说 <math>\mu\in \rho(f(T))</math> 或者说 <math>\mu\notin \sigma(f(T))</math> 。于是证明了 <math>\sigma(f(T)) \subset f(\sigma(T)) </math> ，进而证明了谱映射定理。<ref>{{Cite book|chapter=Theory of Operator Algebras I|url=http://link.springer.com/10.1007/978-1-4612-6188-9|publisher=Springer New York|date=1979|location=New York, NY|isbn=978-1-4612-6190-2|doi=10.1007/978-1-4612-6188-9|language=en|editor-first=Masamichi|editor-last=Takesaki|title=Theory of Operator Algebras I|at=Proposition 2.8}}</ref>

=== 谱投影 ===
谱投影的基本思想如下。设有 <math>K\subset \sigma(T)</math> ，而 <math>U,V</math> 分别是 <math>K, \sigma(T){\setminus}K</math> 的邻域且它们不相交。定义函数

<math>e(z)=\begin{cases}
1&z\in U\\
0&z\in V,
\end{cases}</math>

即 <math>U\cup V</math> 中子集 <math>U</math> 的[[指示函数]]。它是一个满足 <math>[e(z)]^{2} = e(z)</math> （[[冪等|幂等]]）的全纯函数。于是，对于 <math>U\cup V</math> 中的一个包含 <math>\sigma(T)</math> 的适当的围道 <math>\Gamma</math> ，下面的线性算子

: <math>e(T)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{e(z)}{z-T}\,dz</math>

将是一个与 <math>T</math> 对易的有界投影算子，且还将提供大量有用的信息。

实际上，当且仅当 <math>K</math> 在 <math>\sigma(T)</math> 上的[[相對化拓撲|子空间拓扑]]中[[闭开集|既开又闭]]时，这种情况才得以可能。此外，可以安全地忽略集合 <math>V</math> ，因为 <math>e</math> 在其上的值为零从而对积分没有贡献。投影 <math>e(T)</math> 称为 <math>T</math> 在 <math>K</math> 处的'''谱投影'''，记为 <math>P(K;T)</math> 。因此，对于 <math>\sigma(T)</math> 的每个在子空间拓扑中既开又闭的子集 <math>K</math> ，都有一个相应的谱投影由下式给出

: <math>P(K;T)=\frac{1}{2\pi i}\int\nolimits_{\Gamma} \frac{dz}{z-T}</math>

其中 <math>\Gamma</math> 是包围 <math>K</math> 但不包围 <math>\sigma(T)</math> 的其他点的围道。

由于 <math>P(K;T)\triangleq P</math> 有界并与 <math>T</math> 对易，因此 <math>T</math> 可以按此投影来直和分解为 <math>T=U\oplus V</math> 的形式，其中 <math>U\in P(X) , V\in (I-P)(X)</math> 。 <math>P(X), (I-P)(X)</math>是 <math>T</math> 的不变子空间，且 <math>\sigma(U)=K</math> 和 <math>\sigma(V) = \sigma(T){\setminus}K</math> 。一个关键性质在于其相互正交性。如果 <math>L</math> 是另一个（按 <math>\sigma(T)</math> 上子的空间拓扑的）既开又闭集，则

<math>P ( K ; T ) P ( L ; T ) = P ( L ; T ) P ( K ; T ) = P ( K \cap L ;T ),</math>

而这在 <math>K</math> 和 <math>L</math> 不相交时为零。

谱投影有许多应用。 <math>\sigma(T)</math> 的任何孤立点在子空间拓扑中都是既开又闭的，因此具有相应的谱投影。当 <math>X</math> 的维度有限时， <math>\sigma(T)</math> 将由孤立点构成，于是所得的谱投影会给出[[若尔当标准型|若尔当块]]的一个变体，各不同的本征值会逐一对应到各若尔当块。下一节将更详细地讨论这种分解。

有时算子的谱投影会继承这个算子本身的一些性质。例如，如果 <math>T</math> 是谱半径为 <math>r</math> 的{{Tsl|en|Positive matrix|正矩阵}}，则{{Tsl|en|Perron–Frobenius theorem|佩龙—弗罗宾尼斯定理}}断言 <math>r\in\sigma(T)</math> 。相关的谱投影 <math>P(r;T)\triangleq P </math> 也是正的，并且由相互正交性可知其他的谱投影都不可能具有正的行或列。事实上 <math>TP=rP</math> ，且随着 <math>n \to \infty</math> 有 <math>( T / r )^n \to P</math> 。也就是说，随着 <math>n </math> 的增加，此投影 <math>P </math> （称为佩龙投影）逼近于 <math>( T / r )^n</math> ，且其每一列都是 <math>T</math> 的本征向量''。''

更一般地，如果 <math>T</math> 是紧算子，则  <math>\sigma(T)</math> 中的所有非零点都是孤立的，从而它们的任何有限子集都可以用于分解 <math>T</math> ，而相应的谱投影始终是有限秩的。 <math>L(X)</math> 中具有相似谱特性的算子是所谓[[里斯算子]]。里斯算子中的许多类（包括紧算子）都是 <math>L(X)</math> 中的理想，并创造了一个丰饶的研究领域。然而，如果 <math>X</math> 是一个[[希尔伯特空间|希尔伯特空间，]]则 里斯算子和有限秩算子之间恰好夹有一个闭的理想。

前面的大部分讨论都可以在复[[巴拿赫代数]]这一更为一般的背景下进行。这时谱投影被称为'''谱幂等元'''，因为可能不再有空间可供它们投影。

=== 不变子空间分解 ===
如果谱 <math>\sigma(T)</math> 不是连通的，则可以使用函数演算将 <math>X</math> 分解为 <math>T</math> 的不变子空间。设 <math>\sigma(T)</math> 是如下连通分量的[[不交并]]

: <math>\sigma(T) = \bigcup_{i=1}^m F_i.</math>

设 <math>e_i</math> 是连通分量 <math>F_i</math> 的某个邻域的[[指示函数]]。根据同态性质，各个 <math>e_i(T)</math>  都是投影算子。事实上它就是上文说过的谱投影 <math>P(F_i;T)</math> 。 <math>e_i(T)T =Te_i(T)</math> 这一关系表明值域 <math>\{e_i(T)|T\in X\}\triangleq X_i</math> 是 <math>T</math> 的不变子空间。

由于

: <math>\sum_i e_i(T) = I,\,</math>

<math>X</math> 可以用这些互补的子空间来表示：

: <math>X = \sum_i X_i.\,</math>

类似地，如果 <math>T_i</math> 是限制于 <math>X_i</math> 上的 <math>T</math> ，则有

: <math>T = \sum_i T_i.\,</math>

为直和空间

: <math>X' = \bigoplus_i X_i.</math>

配备范数

: <math>\left \| \bigoplus_i x_i \right \| = \sum_i \|x_i\|,</math>

于是 <math>X'</math> 就成为一个巴拿赫空间。其上的一个映射 

: <math>R:X' \to X:\bigoplus_i x_i \mapsto \sum_i x_i</math>

是一个巴拿赫空间同构，并且可以看到

: <math>R T R^{-1} = \bigoplus_i T_i.</math>

这可以看作是 <math>T</math> 的分块对角化。

当 <math>X</math> 维度有限时， <math>\sigma(T)=\{\lambda_i\}</math> 是复平面的有限子集。令 <math>e_i</math> 是仅包含一个谱点（记作 <math>\lambda_i</math> ）的一个开圆盘的指示函数，那么对应的分块对角矩阵 <math>\oplus_iT_i</math> 即 <math>T</math> 的[[若尔当标准型]]。

== 相关结果 ==
借助更强的假设，如 <math>T</math> 是[[希尔伯特空间]]上的[[正规算子]]时，函数演算的定义域可以得到推广。要比较两个结果，可以粗略地类比于正规矩阵的谱定理和若尔当标准型之间的关系。当 <math>T</math> 是正规算子时，可以得到连续函数演算，即可以基于定义在 <math>\sigma(T)</math> 上的[[连续函数]] <math>f</math> 来计算 <math>f(T)</math> 。基于测度论，函数演算的定义域可以推广到[[可测函数]]，即[[博雷尔函数演算]]。这种情况下，设 <math>E \subset \sigma(T)</math> 是[[博雷爾集|博雷尔集]]而 <math>1_E</math> 是其[[指示函数]]，那么投影算子 <math>1_E(T)</math> 就对应于上面所讨论的 <math>e_i(T)</math> 。

博雷尔函数演算可推广到希尔伯特空间上的无界自伴算子。

用稍微抽象一点的语言来说，全纯函数演算可以用与上文基本相同的论述来扩展到[[巴拿赫代数]]的任何元素。类似地，连续函数演算适用于任何[[C*-代数|C* 代数]]中的{{Tsl|en|Normal element|正规元}}，而可测函数演算适用于任何[[冯诺依曼代数]]中的正规元。

=== 无界算子 ===
对于具有非空预解集的无界闭算子，可以以类似的方式定义全纯函数演算。

== 参见 ==

* [[全纯函数]]
* [[柯西積分公式]]
* [[函数演算]]
* {{Tsl|en|Resolvent Formalism}}

== 引注 ==
{{Reflist}}

== 参考资料 ==

* N. Dunford and J.T. Schwartz, ''Linear Operators, Part I: General Theory'', Interscience, 1958.
* Steven G Krantz. ''Dictionary of Algebra, Arithmetic, and Trigonometry''. CRC Press, 2000. {{ISBN|1-58488-052-X}}.
* Israel Gohberg, Seymour Goldberg and Marinus A. Kaashoek, ''Classes of Linear Operators: Volume 1''. Birkhauser, 1991. {{ISBN|978-0817625313}}.

{{泛函分析}}
[[Category:解析函数]]
[[Category:泛函分析]]
[[Category:函数演算]]