查看“︁全称量化”︁的源代码

{{refimprove|time=2018-11-23T12:52:08+00:00}}
{{redirect2|∀|倒轉的字母A|倒轉A}}

在[[谓词逻辑]]中，'''全称命题'''是对[[论域]]内所有成员的性质或关系的论断结果的陈述。在[[符号逻辑]]中，'''全称量词'''∀是用来指示全称量化的符号。

与它相对的，表示至少一个事物为真的量词为[[存在量词]]。

== 基础 ==

要表达“2乘以所有[[自然数]]都等于该自然数和自己相加的和”，一种方式的是：
: <math>2\times0=0+0</math>，且<math>2\times1=1+1</math>，且<math>2\times2=2+2</math>，且<math>2\times3=3+3</math>，以此类推。
因为使用了“且”一词，这看上去是[[合取|逻辑合取]]。然而[[形式逻辑]]中的合取概念却不能表达出“以此类推”一词的含义。

因此将该命题改述为
: '''对于任意'''自然数<math>n</math>，<math>2 \times n=n+n</math>。
这便是一个使用全称量化的单一命题。该命题比原命题更精确，因为“以此类推”一词想表示的是要包括所有的自然数、且除此之外不包括任何其它内容，但语言中并没有明确地陈述这点，这便是“以此类推”一词不能被形式地解释的根本原因。

这个新命题为[[真]]，因为任何自然数<math>n</math>都使命题<math>2 \times n=n+n</math>成立。反之，命题“对任何自然数<math>n</math>，都有<math>2 \times n>2+n</math>则为假，因为当<math>n</math>取1时，<math>2\times1>2+1</math>便不成立。尽管''大多数''自然数<math>n</math>都满足<math>2 \times n>2+n</math>，但存在至少一个[[反例]]足以举证全称命题为假。

然而，“对任何[[合数]]<math>n</math>，都有<math>2 \times n>2+n</math>”是真命题，因为所有的反例均不是合数。这说明了论域的重要性——确定变量<math>n</math>的取值范围。
限制存在量化的论域要使用[[逻辑条件]]。例如“对任何合数<math>n</math>，都有<math>2 \times n>2+n</math>”[[逻辑等价]]于“对任何自然数<math>n</math>，如果<math>n</math>为合数，则<math>2 \times n>2+n</math>”。这里“如果……则”的句子构造出了逻辑条件。


在符号逻辑中，使用全称量词“∀”（倒置的[[无衬线体]]字母“[[A]]”）来表示全称量化。所以如果<math>P(n)</math>是谓词“<math>2 \times n>2+n</math>”，而<math>\mathbb{N}</math>则是自然数集，那么有
: <math> \forall{n}{\in}\mathbb{N}\, P (n) </math>
表示的是假命题“对任何自然数<math>n</math>，都有<math>2 \times n>2+n</math>”。

类似地，若命题<math>Q(n)</math>陈述的是“<math>n</math>为合数”，那么有
: <math> \forall{n}{\in}\mathbb{N}\, Q (n)\;\!\;\! {\rightarrow}\;\!\;\! P (n) </math>
表示的是真命题“对任何合数<math>n</math>，都有<math>2 \times n>2+n</math>”。

圆括号也有时用来表示全称量化。
: <math>(n{\in}\mathbb{N})\, P (n) </math>

== 性质 ==

===否定===

注意到一个量化的命题函数的结果是一个命题；因此像命题一样，量化的函数也可被否定。数学家和逻辑学家用来表示否定的符号是：<math>\lnot\ </math>。

举例来说，定义<math>P(x)</math>为命题函数“<math>x</math>已婚”；则对所有活人组成的论域<math>U</math>，考虑全称量化“对给定的任何活人<math>x</math>，此人都已婚”：

<math>\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)</math> 

显然，这个命题为假，于是我们可以切实地说：“并非都是这样的情况，即：对给定的任何活人<math>x</math>，此人都已婚”，或以符号记作：

<math>\lnot\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)</math>.

花点时间来考虑，准确地说，对全称量词进行否定就意味：如果并非对论域中的''每一个''元素来说命题均为真的话，则必存在至少一个元素使命题为假。这就是说，对命题函数<math>P(x)</math>的否定是逻辑等价于“存在着某个没有结婚的活人<math>x</math>”的，或记作：

<math>\exists{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot\ P(x)</math>

一般地，则有，对一个命题函数的全称量化的否定是该命题函数的否定的一个[[存在量化]]；可用符号表示为：

<math> \lnot\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv\  ( \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot\ P(x))</math>

===推理规则===

[[推理规则]]是指由假设到结论的过程中证明一个逻辑步骤成立的规则。有若干推理规则利用了全称量词。

'''普遍例证'''（Universal instantiation）推定出的结论是这样的：若已知命题函数普遍成立，则其必对论域中任何随意给出的元素均成立。将此符号化地表示为

<math> \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P (x) \to\ P (c)</math>

其中<math>c</math>是论域中可完全随意确定的某个元素。

'''[[普遍化|普遍概括]]'''（Universal generalization）推定出的结论是这样的：若命题函数对论域中任何随意给出的元素均成立，则其普遍成立。以符号表示为：对某个可随意确定的c，

<math> P (c) \to\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P (x)</math>

特别重要的是必须注意到，<math>c</math>必须是完全随意确定的；否则便不能遵循该逻辑：若<math>c</math>不是随意确定的、而是论域中的一个特定元素，则<math>P(c)</math>仅说明蕴意着该命题函数的某个存在量化可成立。

==参考资料==
*{{cite book | author = Hinman, P. | title = Fundamentals of Mathematical Logic | publisher = A K Peters | year = 2005 | id = ISBN 978-1-56881-262-5}}
*{{cite book | author = Franklin, J. and Daoud, A. | title = Proof in Mathematics: An Introduction | publisher = Quakers Hill Press | year = 1996 | id = ISBN 978-1-876192-00-6}}（ch. 2）

== 参见 ==
*[[存在量化]]（∃，there exists）
*[[量化 (数理逻辑)]]
*[[絕對的普遍性]]——假如全稱量化的[[論域|範圍]]為絕對一切事物

[[Category:邏輯符號]]
[[Category:逻辑表达式]]