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'''全狀態回授'''（Full state feedback）也稱為'''極點安置'''（pole placement），是[[反馈]]控制系統理論中的一種控制方式，規劃[[受控體]]的[[閉迴路極點]]在[[S平面]]中事先定義的位置上<ref name="Sontag1998">*{{cite book
 | last = Sontag
 | first = Eduardo
 | authorlink = Eduardo D. Sontag
 | year = 1998
 | title = Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition
 | publisher = Springer
 | isbn = 0-387-98489-5
}}</ref>。在規劃控制系統時，會希望可以規劃極點的位置，因為極點位置直接對應系統的[[特征值]]，而特征值直接影響系統的反應特性。若要用此方法控制，系統必須有[[可控制性]]。在多輸入及多輸出的系統中常用此方式控制，例如主動懸架系統<ref>{{Cite web |url=https://www.researchgate.net/publication/259932566_Design_and_Analysis_of_Full-state_Feedback_Controller_for_a_Tractor_Active_Suspension_Implications_for_Crop_Yield |title=Design and Analysis of Full-state Feedback Controller for a Tractor Active Suspension |accessdate=2018-06-28 |archive-date=2018-02-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180218035646/https://www.researchgate.net/publication/259932566_Design_and_Analysis_of_Full-state_Feedback_Controller_for_a_Tractor_Active_Suspension_Implications_for_Crop_Yield |dead-url=no }}</ref>。

==原理==
[[File:State-system.jpg|thumb|開迴路的系統]]

若系統的開迴路特性可以用[[狀態空間|狀態]]方程式來表示<ref>{{Cite web |url=http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=Introduction&section=ControlStateSpace#24 |title=Control Design Using Pole Placement |accessdate=2018-06-28 |archive-date=2018-06-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180629175929/http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=Introduction&section=ControlStateSpace#24 |dead-url=no }}</ref>

:<math>\dot{\underline{x}}=\mathbf{A}\underline{x}+\mathbf{B}\underline{u}, </math>

而其輸出方程式為

:<math>\underline{y} = \mathbf{C}\underline{x}+\mathbf{D}\underline{u},</math>

則系統轉移函數的極點也就是以下特徵方程的根

:<math>\left|s\textbf{I}-\textbf{A}\right|=0.</math>

全狀態回授是利用輸入向量<math>\underline{u}</math>來達成。考慮一輸入可以表示為一矩陣和狀態向量的乘積，
[[File:Feedback-system.jpg|thumb|有狀態回授的系統（閉迴路）]]

:<math>\underline{u}=-\mathbf{K}\underline{x}</math>.

將輸入向量替換到原來的狀態方程：

:<math>\dot{\underline{x}}=(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K})\underline{x}; </math>

:<math>\underline{y} = (\mathbf{C}-\mathbf{D}\mathbf{K})\underline{x}.</math>

全狀態回授系統的極點是矩陣<math display="inline">A - B K</math>特徵方程的根，<math>\det\left[s\textbf{I}-\left(\textbf{A}-\textbf{B}\textbf{K}\right)\right]=0</math>。比較方程式的項以及理想特徵方程的係數，可以得到回授矩陣<math>\textbf{K}</math>的值，也就是讓閉迴路特徵值在理想特徵方程極點上的對應矩陣。

== 全狀態回授的例子 ==

考慮狀態方程如下的控制系統

:<math>\dot{\underline{x}}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3\end{bmatrix}\underline{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}\underline{u}</math>

控制前的系統其閉迴路極點在<math>s=-1</math>及<math>s=-2</math>。假設為了響應的考量，需讓閉迴路極點在<math>s=-1</math>及<math>s=-5</math>。理想特徵方程為<math>s^2+6s+5=0</math>。

依上述步驟，可得<math>\mathbf{K}=\begin{bmatrix} k_1 & k_2\end{bmatrix}</math>，而全狀態回授的系統特徵方程為

:<math>\left|s\mathbf{I}-\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}\right)\right|=\det\begin{bmatrix}s & -1 \\ 2+k_1 & s+3+k_2 \end{bmatrix}=s^2+(3+k_2)s+(2+k_1)</math>.

讓此特徵方程等於理想特徵方程，因此可得

:<math>\mathbf{K}=\begin{bmatrix}3 & 3\end{bmatrix}</math>.

因此，<math>\underline{u}=-\mathbf{K}\underline{x}</math>可以使閉迴路極點在理想位置上，讓響應也是理想值。

此作法只在單一輸入的系統有效。多重輸入的系統也會有'''K'''矩陣，但不唯一。因此不一定可以很快找到最佳的'''K'''值。此情形比較適合使用[[LQR控制器]]。

==相關條目==
*[[極點分離]]
*[[階躍響應]]

==參考資料==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
*[http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/StateFeedbackGains.html Mathematica function to compute the state feedback gains]{{Wayback|url=http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/StateFeedbackGains.html |date=20131219230130 }}
*[https://www.researchgate.net/publication/259932566_Design_and_Analysis_of_Full-state_Feedback_Controller_for_a_Tractor_Active_Suspension_Implications_for_Crop_Yield Design and Analysis of Full-state Feedback Controller for a Tractor Active Suspension]{{Wayback|url=https://www.researchgate.net/publication/259932566_Design_and_Analysis_of_Full-state_Feedback_Controller_for_a_Tractor_Active_Suspension_Implications_for_Crop_Yield |date=20180218035646 }}

[[Category:控制理论]]
[[Category:反饋]]
<!-- [[Category:Feedback]] -->