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{{NoteTA
|G1 = Math
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{{微積分學}}
'''全微分方程'''是[[常微分方程]]的一种，它在[[物理学]]和[[工程学]]中广泛使用。

==定义==

给定'''R'''<sup>2</sup>的一个[[单连通]]的[[开子集]]''D''和两个在''D''内[[连续函数|连续]]的函数''I''和''J''，那么以下形式的一阶[[常微分方程]]

: <math>I(x, y)\, \mathrm{d}x + J(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\!</math>

称为'''全微分方程'''，当且仅当存在一个[[连续可微]]的函数''F''，称为'''势函数'''，使得
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = I</math>
以及
:<math>\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = J.</math>

“全微分方程”的命名指的是函数的[[全导数]]。对于函数<math>F(x_0, x_1,...,x_{n-1},x_n)</math>，全导数为：
:<math>\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0}.</math>

===例子===

函数
:<math>F(x,y) := \frac{1}{2}(x^2 + y^2)</math>
是以下全微分方程的势函数。
:<math>xx' + yy' = 0.\,</math>

==势函数的存在==

在物理学的应用中，''I''和''J''通常不仅是连续的，也是[[连续可微]]的。[[二阶偏导数的对称|施瓦茨定理]]（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个[[必要条件]]。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是[[充分]]的，我们便得出以下的定理：

给定以下形式的微分方程：
: <math>I(x, y)\, dx + J(x, y)\, dy = 0, \,\!</math>
其中''I''和''J''在'''R'''<sup>2</sup>的单连通开子集''D''上是连续可微的，那么势函数''F''存在，当且仅当下式成立：
:<math>\frac{\partial I}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial J}{\partial x}(x, y).</math>

==全微分方程的解==

给定一个定义在'''R'''<sup>2</sup>的单连通开子集''D''上的全微分方程，其势函数为''F''，那么''D''内的可微函数''f''是微分方程的解，[[当且仅当]]存在[[实数]]''c''，使得
:<math>F(x, f(x)) = c.\,</math> 

对于[[初值问题]]
:<math>y(x_0) = y_0\,</math>
我们可以用以下公式来寻找一个势函数：
:<math>F(x,y) = \int_{x_0}^x I(t,y_0) dt + \int_{y_0}^y J(x,t) dt.</math>

解方程
:<math>F(x,y) = c\,</math>
其中''c''是实数，我们便可以构造出所有的解。

==参见==
*[[全微分]]
*[[里卡蒂方程]]
*[[伯努利微分方程]]
*[[柯西-欧拉方程]]
*[[克莱罗方程]]
*[[线性微分方程]]

==参考文献==
*Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986. 
*Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004. 
*Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.

[[Category:微分方程]]