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{{Unreferenced|time=2020-09-05T16:04:57+00:00}}
{{NoteTA
|1=zh-cn:变量;zh-tw:變數
}}
{{微積分學}}
在[[微积分]]中，函数<math>f</math>在某一点的'''全微分'''（{{lang-en|total derivative}}）是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳[[线性近似]]。与[[偏微分]]不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。

全微分可視為單變數函數的[[微分]]在多變數函數上的推廣：单变量函数的全微分与其微分的定義相同；而多變數函數在某點的全微分為一線性映射，通常可用矩陣或向量表示。例如，对于[[二元函数]] <math>\textstyle f(x, y)</math>，设<math>f</math>在[[点]] <math>(x_0,y_0)</math> 的某个[[邻域]]内有定义，<math>\scriptstyle (x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y)</math> 为该邻域内的任意一点，则该函数在点<math>(x_0,\ y_0)</math>的變化量 <math>\scriptstyle \Delta  f=f(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y) - f(x_0,\ y_0)</math> 可表示为

:<math>\Delta f = A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)</math>，

其中<math>A</math>，<math>B</math> 皆為常數且仅与點 <math>(x_0,y_0)</math> 有关，而与<math>\Delta x</math>，<math>\Delta y</math>无关，<math>\scriptstyle\rho=\sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y)^2}</math>。若<math>o(\rho)</math>是当<math>\rho \rightarrow 0</math>时的[[高阶无穷小]]，则称此[[函数]] <math>f</math> 在点 <math>(x_0,y_0)</math>可[[微分]]，而矩陣(或向量)<math>(A, B)</math> 即为函数 <math>f</math> 在 <math>(x_0,\ y_0)</math> 的'''全微分'''也簡稱'''微分'''，记作

:<math>Df|_{(x_0,y_0)} = (A,B)</math>

或 <math>f'(x_0,y_0) = (A,B)</math>。

== 存在条件 ==
全微分繼承了部分[[一元函数]]實函數（[[定義域]]和[[值域]]為[[實數]]的函數）的微分所具有的性質，但两者间也存在差异。从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个[[定理]]。

=== 充分条件 ===
一个多元函数在某点的全微分存在的[[充分条件]]是：此函数在该点某邻域内的各个[[偏导数]]存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微。

对于二元函数，此定理可表述为：若二元函数<math>z=f(x,\ y)</math>在点<math>(x_0,\ y_0)</math>的某邻域内的偏导数<math>f_x(x_0,\ y_0)</math>与<math>f_y(x_0,\ y_0)</math>存在，且偏导函数<math>f_x(x,\ y)</math>与<math>f_y(x,\ y)</math>在点<math>(x_0,\ y_0)</math>都连续，则此函数在点<math>(x_0,\ y_0)</math>可微<ref>{{Cite book|title=高等数学 下册（同济大学数学系编）|url=https://archive.org/details/gaodengshuxuexia0002unse|publisher=高等教育出版社|year=2014|isbn=978-7-04-039662- 1|location=中国|pages=[https://archive.org/details/gaodengshuxuexia0002unse/page/73 73]|language=中文|edition=2014年7月第七版}}</ref>。需要注意的是，此条件并非[[充要条件]]，存在偏导函数不连续但是多元函数可全微分的情况。如果不满足这个充分条件，那么一个多元函数能否全微分则必须由定义加以证明，即验证<math>\lim_{\rho \to 0} \frac {\Delta z - [f_x(x_0,\ y_0) \Delta x + f_y(x_0,\ y_0) \Delta y]}{\rho} = 0</math>是否成立。

=== 必要条件 ===
一个多元函数在某点的全微分存在的[[必要条件]]是：若多元函数在某点可微，则此函数在该点必连续。

对于二元函数，此定理可表述为：若二元函数<math>z = f(x,\ y)</math>在点<math>(x_0,\ y_0)</math>可微，则此函数在点<math>(x_0,\ y_0)</math>必连续。

全微分存在另一个必要条件是：若多元函数在某点可微，则此函数在该点的全微分可表示为各[[自变量]]的变化量与该自变量在该点的偏导数之[[积]]的和。

对于二元函数，此定理可表述为：二元函数<math>z=f(x,\ y)</math>在点<math>(x_0,\ y_0)</math>可微，则此函数在点<math>(x_0,\ y_0)</math>的全微分为

:<math>\operatorname dz|_{(x_0,\ y_0)} = f_x(x_0,\ y_0) \Delta x + f_y(x_0,\ y_0) \Delta y</math>。

==参见==
*[[微分]]
*[[偏导数]]

[[Category:微分学]]
[[Category:多变量微积分]]
[[Category:微分算子]]

[[ja:偏微分#全微分]]