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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''全序关系'''，也称为'''线性顺序'''（{{lang-en|Total order, linear order}}）即[[集合 (数学)|集合]]<math>X</math>上的[[反对称关系|反对称]]的、[[传递关系|传递]]的和[[完全关系|完全]]的[[二元关系]]（一般称其为<math>\leq</math>）。

若<math>X</math>满足全序关系，则下列陈述对于<math>X</math>中的所有<math>a,b</math>和<math>c</math>成立：

* 反对称性：若<math>a\leq b</math>且<math>b\leq a</math>则<math>a= b</math>
* 传递性：若<math>a\leq b</math>且<math>b\leq c</math>则<math>a\leq c</math>
* 完全性：<math>a\leq b</math>或<math>b\leq a</math>

满足全序关系的集合叫做'''全序集合'''、'''线性序集合'''、'''简单序集合'''或'''链'''。
'''链'''还常用来描述[[偏序集合]]的全序子集。

全序关系的完全性可以如下这样描述：集合中的任何一对元素都是'''可相互比较'''的。

注意完全性条件蕴涵了[[自反关系|自反性]]：<math>a\leq a</math>，因此全序关系也是（满足“完全性”条件的）偏序关系。

==严格全序==
对于每一（非严格）全序关系≤都有一关联的非对称的'''严格全序'''关系<，它可以用以下两种等价的方式定义：
*<math>a< b</math>当且仅当<math>a\leq b</math>且<math>a\neq b</math>
*<math>a< b</math>当且仅当<math>\neg(b\leq a)</math>（即<math>></math>为<math>\leq</math>的[[二元关系#运算|逆]]补关系）

性质：
*[[传递关系|传递性]]：<math>a< b</math>且<math>b< c</math>蕴涵<math>a< c</math>。
*[[三分律|-{zh-cn:三分性; zh-tw:三一性;}-]]：<math>a< b</math>, <math>b< a</math>和<math>a= b</math>中有且仅有一个成立。
*弱序性：其中关联的等价是相等的。

我们可以通过指定<math><</math>为三分二元关系，用这两种等阶的方式来定义全序<math>\leq</math>：
*<math>a\leq b</math>当且仅当<math>a< b</math>或<math>a= b</math>
*<math>a\leq b</math>当且仅当<math>\neg(b< a)</math>

另两个关联的关系是补关系<math>\geq</math>和<math>></math>，它们构成了[[四元组]]<math>\{<, >, \leq, \geq\}</math>。

我们可以用这四个关系中的任何一个来定义全序集，符号指明了全序集的严格性。

==例子==
* [[字典序]]的字母表，比如<math>A <B < C</math>等等。
* 全序集的任何保持原次序不变的子集。
* 满足完全性的偏序集。
* [[基数 (数学)|基数]]或[[序数]]集（严格地说，它们都是[[良序关系|良序集]]）。
* 若<math>X</math>为任何集合，<math>f</math>为<math>X</math>到一全序集的[[单射函数|单射]]，则<math>f</math>诱导<math>X</math>为<math>x_1 < x_2</math>当且仅当<math>f(x_1) < f(x_2)</math>的全序集。
* 有序数的全序集的直积的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何单词表——长为<math>n</math>的单词可视为字母表集合的直积自乘<math>n</math>次所得结果集合中的元素。
* 拥有小于（<math><</math>）和大于关系（<math>></math>）的实数集是全序的，因此其子集（[[自然数]]集、[[整数]]集、[[有理数]]集等）均为全序集。
**自然数集是最小的无[[上界]]全序集。
**整数集是最小的无界全序集。
**有理数集是最小的无界[[稠密集|稠密]]全序集。
**实数集是最小的无界[[连通性|连通]]全序集。

== 参见 ==
* [[二元关系]]
* [[偏序关系]]

== 引用 ==
* George Grätzer (1971). ''Lattice theory: first concepts and distributive lattices.'' W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0 
* John G. Hocking and Gail S. Young (1961). ''Topology.'' Corrected reprint, Dover, 1988.  ISBN 0-486-65676-4

[[Category:序理论|Q]]
[[Category:数学关系]]