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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[代數數論]]中，若[[數域]] <math>K</math> 的每個嵌入 <math>\sigma: K \to \mathbb{C}</math> 的像都落在實數域 <math>\mathbb{R}</math>，則稱 <math>K</math> 為-{zh-cn:'''全实域'''或'''全实数域'''; zh-tw:'''全實數體''';}-。

若 <math>K</math> 可表為 <math>K=\mathbb{Q}(\alpha)</math>，設 <math>\alpha</math> 在 <math>\mathbb{Q}</math> 上的的[[極小多項式]]為 <math>P(X)</math>，則嵌入映射 <math>\sigma: K \to \mathbb{C}</math> 透過 <math>\sigma \mapsto \sigma(\alpha)</math> 一一對應於 <math>P(X)</math> 在 <math>\mathbb{C}</math> 裡的根。<math>K</math> 是全實域若且唯若 <math>P(X)</math> 僅有實根。

另一種判準是：<math>K</math> 是全實域若且唯若 <math>K \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{R} \simeq \mathbb{R}^{[K:\mathbb{Q}]}</math>。

全實域在代數數論中是較容易處理的數域。對於任意的[[阿貝爾擴張]] <math>L/\mathbb{Q}</math>，我們有 <math>L</math> 是全實域，或者存在極大的全實子域 <math>K/\mathbb{Q}</math> 使得 <math>[L:K]=2</math>。

==文獻==
* Jürgen Neukirch, ''Algebraische Zahlentheorie'' (1992), Springer-Verlag. ISBN 3-5403-7547-3

[[Category:域論|Q]]
[[Category:代數數論|Q]]