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'''內射模'''（{{lang-en|injective module}}），在[[模論]]中，是具有與[[有理數]] <math>\mathbb{Q}</math>（視為 <math>\Z</math>-[[模]]）相似性質的模。內射模是[[投射模]]的對偶概念，由Reinhold Baer於1940年引進。

==定義==
一個[[环 (代数)|環]] <math>R</math> 上的左模 <math>Q</math> 若滿足以下等價條件，則稱之為'''內射模'''：
* 若 <math>Q</math> 是另一個左 <math>R</math>-模 <math>M</math> 的子模，則存在另一個子模 <math>R \subset M</math> 使得 <math>M = R 
\oplus Q</math>。
* 若 <math>f: X \to Y</math> 是左 <math>R</math>-模的單射，<math>g: X \to Q</math> 為同態，則存在同態 <math>h: Y \to Q</math> 使得 <math>h \circ f = g</math>。圖示如下：
: [[File:injective module.png|內射模 Q 的交換圖]]
* 任何[[短正合序列]] <math>0 \to Q \to M \to K \to 0</math> 都分裂。
* [[函子]] <math>\mathrm{Hom}_R(-,Q)</math> 為[[正合函子]]。

右模的定義類此。抽象地說，內射模乃是模範疇中的[[內射對象]]。

==例子==
* 零模是內射模的平凡例子。
* 設 <math>R</math> 為[[体 (数学)|域]]，則任何 <math>R</math>-模（即 <math>R</math>-[[向量空間]]）都是內射模，此點可由[[基 (代數)|基]]的性質證明。
* 設 <math>G</math> 為[[緊群]]（例如[[有限群]]），<math>k</math> 為特徵為零的[[体 (数学)|域]]。根據緊群的[[表示理論]]，可知任何表示的子表示都是其直和項；若翻譯為模的語言，即是：[[群代數]] <math>kG</math> 上的所有模都是內射模。
* 設 <math>A</math> 為域 <math>k</math> 上含單位元的有限維[[結合代數]]。則逆變函子 <math>\mathrm{Hom}_k(-,k)</math> 給出有限生成左 <math>A</math>-模與有限生成右 <math>k</math>-模的對偶性。因此，有限生成的左 <math>A</math>-模在[[同構]]的意義下皆可寫作 <math>\mathrm{Hom}_k(P,k)</math>，其中 <math>P</math> 是某個有限生成的投射右 <math>A</math>-模。
* 在一般的環上也存在充足的（在[[內射分解]]的意義下）投射模，以下將述及相關理論。初步的例子包括：<math>\mathbb{Q}</math> 對加法形成內射 <math>\Z</math>-模。群 <math>\Z/n\Z</math> （<math>n > 1</math>）是內射 <math>\Z/n\Z</math>-模，而非內射 <math>\Z</math>-模。
* 若一个环作为它自身的左模是内射的，就称为一个左自内射环（{{lang-en|left self-injective ring}}）。右自内射环可对称的定义。半单环，整数的剩余类环是自内射环。一个左自内射环不一定是右自内射的。

==性質==
內射模的直積（包括無窮直積）仍是內射模，內射模的有限直和仍為內射模。一般而言，內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。

Baer 在其論文中證明了一個有用的結果，通常稱作 Baer 判準：一個左 <math>R</math>-模 <math>Q</math> 是內射模若且唯若定義在任一[[理想 (環論) |理想]] <math>I</math> 上的態射 <math>I \to Q</math> 都能延拓到整個 <math>R</math> 上。

利用此判準，可證明[[主理想域]] <math>R</math> 上的模 <math>Q</math> 是內射模若且唯若 <math>Q</math> 可除，即：對任何 <math>r \neq 0 \in R.\; q \in Q</math>，存在 <math>q' \in Q</math> 使得 <math>rq' = q</math>，由此可證 <math>\mathbb{Q}</math> 是內射 <math>\Z</math>-模，向量空間都是內射模。

最重要的內射模當屬 <math>\mathbb{Q}/\Z</math>：它是 <math>\Z</math>-模範疇中的'''內射上生成元'''，換言之，這是內射模，而且任何 <math>\Z</math>-模皆可嵌入某個 <math>(\mathbb{Q}/\Z)^a</math> 中，其中 <math>a</math> 是夠大的[[基数 (数学)|基數]]。由此可知任何 <math>\Z</math>-模皆可嵌入某個內射 <math>\Z</math>-模。此性質對任意環 <math>R</math> 上的左模都成立，要點在於利用 <math>\mathbb{Q}/\Z</math> 的特性構造左 <math>R</math>-模範疇中的內射上生成元。

我們也可以定義模的[[內射包]]（基本上是包含一個模的最小內射模）。任意模 <math>M</math> 都有[[內射分解]]，這是形式如下的[[正合序列]]：
: <math>0 \to M \to I^0 \to I^1 \to I^2 \to \cdots I^n \to \cdots </math>
其中每個 <math>I^j</math> 都是內射的。內射分解可以用以定義模的[[內射維度]]（基本上是內射分解的最短長度，可能是無限的）及[[導函子]]。

不可分解內射模的自同態環是[[局部環]]。

==文獻==
* F.W. Anderson and K.R. Fuller: ''Rings and Categories of Modules'', Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.

==参见==
*[[模论]]
*[[投射模]]

[[Category:交換代數|N]]
[[Category:模論|N]]