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'''克氏符号'''，全称'''克里斯托费尔符号'''（'''Christoffel  symbols'''），在[[数学]]和[[物理]]中，是从[[度量张量]]导出的[[列维-奇维塔联络]]（{{lang|en|Levi-Civita connection}}）的坐标表达式。因[[埃爾溫·布魯諾·克里斯托費爾]]（1829年-1900年）命名。克氏符号在每当进行涉及到几何的实用演算时都会被用到，因为他们使得非常复杂的演算不被搞混。不幸的是，它们写起来较繁琐，并要求对细节的仔细关注。相反，无下标的形式化的列维-奇维塔联络的概念是相当漂亮，并允许定理用典雅的方式表达，但是在实用演算中没有什么用处。

==预备==
下面的定义对于[[黎曼流形]]和[[广义相对论]]用到的[[伪黎曼流形]]都是适用的，[[逆變導數]]（contravariant，用上标表示）和[[協變導數]]（covariant，用下标表示）的指标作了严格的区分。公式对两种[[符号常规]]都成立，除特别指出的外。

==定义==
克氏符号可以从[[度量张量]]<math>g_{ik}</math>的[[共变导数]]为0这一事实来导出：

:<math>D_lg_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l} - g_{mk}\Gamma^m_{il} - g_{im}\Gamma^m_{kl}=0 </math>。

通过交换指标（{{lang|en|index}}），和求和，可以解出联络：

:<math>\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} \right)</math>，

注意虽然记号有三个指标，他们'''不'''是张量。它们不像张量那样变换。它们是二阶切丛上的物体的分量，是一个[[喷射]]，参看[[jet丛]]。克氏符号在坐标变换下的变换性质见下面。

注意，多数作者用[[和樂 (曲率)|和樂]]（或称完全，holonomic）的坐标系，我们也用这样的常规做法。在非和乐的坐标中，克氏符号有更复杂的形式

:<math>\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im} \left(
\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} +
\frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} -
\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} +
c_{mkl}+c_{mlk} - c_{klm}
\right) </math>

其中<math>c_{klm}=g_{mp} {c_{kl}}^p</math>是该基的[[结构常数|交换系数]]；也就是

:<math>[e_k,e_l] = {c_{kl}}^m e_m</math>

其中''e''<sub>k</sub>是向量的基而<math>[,]</math>是[[李导数|李括号]]。

<!--交换系数不为0的非和乐基的一个例子是球极坐标和柱极坐标。I don't think this is the case -->

以下的表达式除作特殊说明外都是在和乐坐标基中。

==和无指标符号的关系==

令''X''和''Y''为[[向量场]]，其分量为<math>X^i</math>和<math>Y^k</math>。则''Y''相对于''X''的共变导数的第''k''个分量为

:<math>\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i D_i Y^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k_{im} Y^m\right)</math>.

有些老的物理书有时把''X''写成''dx'',并把它放在方程的后面而不是前面。这里，采用了[[爱因斯坦记号]]，所以重复出现的指标表示求和，和度量张量的缩并（contraction）用来升降指标：
:<math>\langle X,Y\rangle = g(X,Y) = X^i Y_i = g_{ik}X^i Y^k</math>.
注意<math>g_{ik}\neq g^{ik}</math>和[[克罗内克记号]]（Kronecker delta）<math>g^i_k=\delta^i_k</math>。常规上，度量张量是有下标的那个；这确的从<math>g_{ik}</math>得到<math>g^{ik}</math>的办法是解线性方程组<math>g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k</math>。也即，g<sup>ik</sup>是g<sub>ik</sub>的逆。

联络是无[[聯絡的撓率|挠率]]的表达式是
:<math>\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]</math>
这和克里斯托夫记号对两个下标对称是等价的：
:<math>\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}</math>.

无指标的张量变换性质是由共变指标的[[拉回]]和反变指标的[[前推]]来给出的。[[共变导数]]条目有关于无指标和有指标表示法的关系的更多讨论。

==关系==
把指标缩并起来，就得到
:<math>\Gamma^i_{ki}=\frac{1}{2} g^{im}\frac{\partial g_{im}}{\partial x_k}=\frac{1}{2g} \frac{\partial g}{\partial x_k} = \frac{\partial \ln \sqrt{|g|}}{\partial x_k} </math>
其中|''g''|是度量张量<math>g_{ik}</math>的[[行列式]]的绝对值。

类似的,
:<math>g^{kl}\Gamma^i_{kl}=\frac{-1}{\sqrt{|g|}} \;\frac{\partial\sqrt{|g|}\,g^{ik}} {\partial x^k}.</math>

[[向量场]]<math>V^m</math>的'''共变导数（covariant derivative）'''是
:<math>D_l V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^l} + \Gamma^m_{kl} V^k.</math>

'''共变散度（covariant divergence）'''是
:<math>D_m V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^m} + V^k \frac{\partial \log \sqrt{|g|}}{\partial x^k} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial (V^m\sqrt{|g|})}{\partial x^m}</math>.

[[张量]]<math>A^{ik}</math>的共变导数是
:<math>D_l A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^l} + \Gamma^i_{ml} A^{mk} + \Gamma^k_{ml} A^{im} </math>.

若张量是[[反对称]]的，则其散度简化为
:<math>D_k A^{ik}= \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial (A^{ik}\sqrt{|g|})}{\partial x^k}</math>.

标量场<math>\phi</math>的反变导数称为<math>\phi</math>的'''[[梯度]]'''。也就是说，梯度就是把微分的指标升到上面：
:<math>D^i\phi=g^{ik}\frac{\partial\phi}{\partial x^k}.</math>

标量势的'''[[拉普拉斯算子]]Laplacian'''是
:<math>\Delta \phi=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial x^i}\left(g^{ik}\sqrt{|g|}\frac{\partial\phi}{\partial x^k}\right)</math>.
拉普拉斯也就是梯度的共变散度（对于标量场来讲）
<math>\Delta \phi=D_i D^i\phi</math>.

==黎曼曲率==
'''黎曼[[曲率张量]]'''是
:<math>R_{iklm}=\frac{1}{2}\left(
\frac{\partial^2g_{im}}{\partial x^k \partial x^l}
+ \frac{\partial^2g_{kl}}{\partial x^i \partial x^m}
- \frac{\partial^2g_{il}}{\partial x^k \partial x^m}
- \frac{\partial^2g_{km}}{\partial x^i \partial x^l} \right)
+g_{np} \left(
\Gamma^n_{kl} \Gamma^p_{im} -
\Gamma^n_{km} \Gamma^p_{il} \right)
</math>.

该张量的对称性有
:<math>R_{iklm}=R_{lmik}</math>和<math>R_{iklm}=-R_{kilm}=-R_{ikml}</math>.
也就是交换前后两对指标是对称的，交换其中一对是反对称的。

循环替换的和是
:<math>R_{iklm}+R_{imkl}+R_{ilmk}=0.</math>

'''[[比安基恒等式]]'''是
:<math>D_m R^n_{ikl} + D_l R^n_{imk} + D_k R^n_{ilm}=0.</math>

==Ricci曲率==
'''[[Ricci张量]]'''由下式给出
:<math>R_{ik}=\frac{\partial\Gamma^l_{ik}}{\partial x^l} - \frac{\partial\Gamma^l_{il}}{\partial x^k} + \Gamma^l_{ik} \Gamma^m_{lm} - \Gamma^m_{il}\Gamma^l_{km}.</math>
该张量是对称的：<math>R_{ik}=R_{ki}</math>.它可以通过收缩黎曼张量的指标得到：
:<math>R_{ik}=g^{lm}R_{limk}.</math>

[[标量曲率]]由下式给出
:<math>R=g^{ik}R_{ik}</math>.

标量的共变导数可以从Bianchi等式推出：
:<math>D_l R^l_m = \frac{1}{2} \frac{\partial R}{\partial x^m}</math>.

==外尔张量==
'''[[外尔张量]]（Weyl tensor）'''是
:<math>C_{iklm}=R_{iklm} + \frac{1}{2}\left(
- R_{il}g_{km}
+ R_{im}g_{kl}
+ R_{kl}g_{im}
- R_{km}g_{il} \right)
+ \frac{1}{6} R \left(
g_{il}g_{km} - g_{im}g_{kl} \right)</math>.

==坐标变换==
在从<math>(x^1,...,x^n)</math>到<math>(y^1,...,y^n)</math>的坐标变换下，向量的变换为
:<math>\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}</math>
所以
:<math>\overline{\Gamma^k_{ij}} =
\frac{\partial x^p}{\partial y^i}\,
\frac{\partial x^q}{\partial y^j}\,
\Gamma^r_{pq}\,
\frac{\partial y^k}{\partial x^r}
+
\frac{\partial y^k}{\partial x^m}\,
\frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j}
</math>
其中上划线表示''y''坐标系中的克氏符号。注意克氏符号'''不'''像张量那样变换，而是像[[jet丛]]中的对象那样。

==参考==
*[[Lev Davidovich Landau]] and [[Evgeny Mikhailovich Lifshitz]], ''The Classical Theory of Fields, Fourth Revised English Edition, Course of Theoretical Physics, Volume 2'', (1951) Pergamon Press, Oxford; ISBN 0-08-025072-6. See chapter 10, paragraphs 85,86 and 87.
*[[Ralph Abraham]] and Jerrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin/Cummings Publishing, London; ISBN 0-8053-0102-X. See chapter 2, paragraph 2.7.1
*Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, ''Gravitation'', (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. See chapter 8, paragraph 8.5

[[Category:度量几何]]
[[Category:數學表示法]]
[[Category:数学符号]]
[[Category:联络|K]]
[[Category:洛伦兹流形]]