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[[File:Klein bottle.svg|thumb|[[浸入]]三维空间中的克莱因瓶]]
在[[数学]]领域中，'''克莱因瓶'''（{{lang-de|'''Kleinsche Flasche'''}}）是指一种无定向性的[[平面 (数学)|平面]]，比如[[二维空间|二维平面]]，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由[[德国]][[数学家]][[费利克斯·克莱因]]提出的。克莱因瓶和[[莫比乌斯带]]非常相像。

要想像克萊因瓶的結構，可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部，向外扭曲後伸進瓶子的內部，再與底部的洞相連接。

和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。

其名稱可能源自德語中的「{{lang|de|Kleinsche Fläche}}」（克萊因平面），後來被誤解為「{{lang|de|Kleinsche Flasche}}」（克萊因瓶）。德語最終也沿用了「克萊因瓶」這種稱呼。<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=YZ1L8S4osKsC&pg=PA95|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-8465-2|language=en|first=Francis|last=Bonahon|title=Low-dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots|pages=95|access-date=2021-11-09|archive-date=2022-04-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220410221313/https://books.google.com/books?id=YZ1L8S4osKsC&pg=PA95}}</ref>

== 性质 ==
从[[拓扑学]]角度上看，克莱因瓶可以定义为[0,1] &times; [0,1]的矩阵，边定义为(0,''y'') ~ (1,''y'')，其中0&nbsp;&le;&nbsp;''y''&nbsp;&le;&nbsp;1；和(''x'',0) ~ (1-''x'',1)，其中0&nbsp;&le;&nbsp;''x''&nbsp;&le;&nbsp;1。

可以用图表示为
:[[Image:Klein Bottle Folding 1.svg]]

就像[[莫比乌斯带]]一样，克莱因瓶是[[可定向性|不可定向]]的。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到[[三維空間|三维]]或更高维的[[欧几里得空间]]，克莱因瓶只能嵌入到于四维或更高维空间。

== 参数方程模型 ==
克莱因瓶的参数十分复杂：
:<math>\begin{align}
&x(u,v) = -\frac{2}{15} \cos u (3 \cos{v}-30 \sin{u}+90 \cos^4{u} \sin{u} -60 \cos^6{u} \sin{u}+5 \cos{u} \cos{v} \sin{u}) \\
&y(u,v) = -\frac{1}{15} \sin u (3 \cos{v}-3 \cos^2{u} \cos{v}-48 \cos^4{u} \cos{v}+48 \cos^6{u} \cos{v}-60 \sin{u}+5 \cos{u} \cos{v} \sin{u}\\
&\quad\quad\quad\quad -5 \cos^3{u} \cos{v} \sin{u}-80 \cos^5{u} \cos{v} \sin{u}+80 \cos^7{u} \cos{v} \sin{u}) \\
&z(u,v) = \frac{2}{15} (3+5 \cos{u} \sin{u}) \sin{v}\\
&(0\le u < \pi,0\le v < 2\pi)
\end{align}</math>
还有一个较简单的
:<math>\begin{align}
&x(u,v)=\cos u(\cos\frac{u}{2}(\sqrt{2}+\cos v)+\sin\frac{u}{2}\sin v\cos v)\\
&y(u,v)=\sin u(\cos\frac{u}{2}(\sqrt{2}+\cos v)+\sin\frac{u}{2}\sin v\cos v)\\
&z(u,v)=-\sin\frac{u}{2}(\sqrt{2}+\cos v)+\cos\frac{u}{2}\sin v\cos v
\end{align}</math>

== 参见 ==
{{commons|Surfaces}}
* [[莫比乌斯带]]
* [[三叶结]]
* [[銜尾蛇]]

== 参考资料 ==
{{reflist}}
{{几何术语}}
[[Category:曲面]]