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[[数学]]上，'''克莱因（Klein）四元群'''，得名自[[菲利克斯·克莱因]]，是最小的非[[循环群]]。它有4个元素，除单位元外其阶均为2。

克莱因四元群通常以'''V'''表示（来自[[德文]]的四元群''Vierergruppe''）。它是[[阿贝尔群]]，同构于<math>\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z</math>，就是2阶的循环群与自身的直积。它也同构于4阶的[[二面体群]]。

== 结构 ==

若把克莱因四元群记作V = { 0, ''e'', ''f'', ''g'' }，其运算为加法"+"，那么以下为其运算表：
:{| class="wikitable"
|----- valign="bottom" align="center"
! +
! 0
! ''e''
! ''f''
! ''g''

|----- valign="bottom" align="center"
! 0
| 0 || ''e'' || ''f'' || ''g''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''e''
| ''e'' || 0 || ''g'' || ''f''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''f''
| ''f'' || ''g'' || 0 || ''e''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''g''
| ''g'' || ''f'' || ''e'' || 0
|}
这运算是[[对合]]的：∀ ''x'' ∈ ''V'' , ''x'' + ''x'' = 0。

克莱因四元群可扩展为[[有限域]]，称为'''克莱因域'''，加入乘法为第二个运算，以0为零元，''e''为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为：
:{| class="wikitable"
|----- valign="bottom" align="center"
! x
! 0
! ''e''
! ''f''
! ''g''

|----- valign="bottom" align="center"
! 0
| 0 || 0 || 0 || 0
|----- valign="bottom" align="center"
! ''e''
| 0 || ''e'' || ''f'' || ''g''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''f''
| 0 || ''f'' || ''g'' || ''e''
|----- valign="bottom" align="center"
! ''g''
| 0 || ''g'' || ''e'' || ''f''
|}

克莱因四元群是下[[图]]的[[图自同构]]群。

: <math>\begin{matrix}
\circ \!\! - \!\! \circ \\
\circ \;\; \circ \\
\end{matrix}</math>

克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性，可以从它在4点上的[[置换表示]]看出：

:''V'' = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >

在这表示中，V是[[交错群]]''A''<sub>4</sub>的[[正规子群]]，也是4个字母上的[[对称群]]''S''<sub>4</sub>的正规子群。根据[[伽罗瓦理论]]，克莱因四元群的存在，而且还具有这特别的表示，解释了[[四次方程]]可以用根式求解的原因。

[[Category:有限群|K]]