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'''克拉克變換'''（Clarke transformation）也稱為'''<math>\alpha\beta\gamma</math>變換'''，是[[電機工程學]]裡簡化[[三相電]]分析的數學{{link-en|變換 (數學)|Transform (mathematics)|變換}}，常用在三相[[逆變器]]的控制上，可以將平衡的三相系統轉換為互相垂直的二相系統，方便信號的處理。

克拉克變換和[[派克变换]]（park transform）都是簡化三相電分析用的數學變換，在電機控制時也常一起使用。

==歷史==
{{le|伊迪絲·克拉克|Edith Clarke}}在1937年和1938年發表了應用在不平衡三相電力系統的變換及計算，此方法可以簡化計算<ref>{{Cite journal|last=O'Rourke|first=Colm J.|date=December 2019|title=A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park|url=https://hdl.handle.net/1721.1/123557|journal=IEEE Transactions on Energy Conversion|language=en|volume=34, 4|issue=4 |pages=2070–2083|doi=10.1109/TEC.2019.2941175|bibcode=2019ITEnC..34.2070O |via=MIT Open Access Articles|hdl=1721.1/123557|s2cid=203113468 |hdl-access=free}}</ref>。

==定義==

伊迪絲·克拉克用在三相電流的克拉克變換如下<ref>{{cite journal|author1=W. C. Duesterhoeft |author2=Max W. Schulz |author3=Edith Clarke | journal=Transactions of the American Institute of Electrical Engineers| title=Determination of Instantaneous Currents and Voltages by Means of Alpha, Beta, and Zero Components|date=July 1951|volume=70|issue=2|
pages=1248–1255|issn=0096-3860|doi=10.1109/T-AIEE.1951.5060554|s2cid=51636360 }}</ref>：

:<math>i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}</math>
其中
:<math>i_{abc}(t)</math>是一般的三相電流
:<math>i_{\alpha\beta\gamma}(t)</math>是經<math>T</math>變換後所得的電流

逆變換為：

:<math>i_{abc}(t) = T^{-1}i_{\alpha\beta\gamma}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1\\
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.</math>

上述的克拉克變換保持了電機變數的量值。考慮以下對稱的三相電流信號
:<math>
\begin{align}
i_a(t)=&\sqrt{2}I\cos\theta(t),\\
i_b(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)-\frac23\pi\right),\\
i_c(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)+\frac23\pi\right),
\end{align}
</math>
其中
:<math>I</math>是<math>i_a(t)</math>、<math>i_b(t)</math>和<math>i_c(t)</math>的[[平方平均数]]
:<math>\theta(t)</math>是隨時間變化的角度，可以表示為<math>\omega t</math><sup>。

將上述三相電流信號進行變換，可得
:<math>
\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\
i_{\gamma}=&0,
\end{align}
</math>
變換後的電流量值和變換前相同。

=== 功率不變變換 ===
電機系統的電壓和電流，經過上述的變換後，實功和虛功會和原系統會差一個係數，原因是因為<math>T</math>不是[[酉矩阵]]（unitary matrix）。若要讓實功和虛功的值在變換前後相同，需要用以下的變換
:<math>i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix},</math>
變換矩陣是酉矩阵，而且其逆矩陣恰好為其轉置矩陣<ref>{{cite journal|title=Area Based Approach for Three Phase Power Quality Assessment in Clarke Plane|author1=S. CHATTOPADHYAY|author2=M. MITRA|author3=S. SENGUPTA|journal=Journal of Electrical Systems|year=2008|volume=04|issue=1|pages=62|url=https://www.researchgate.net/publication/26500171|accessdate=2020-11-26}}</ref>
不過在此例中，變換後電流的量值就和變換前不同了，變換後的電流如下
:<math>
\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt3 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt3 I\sin\theta(t),\\
i_{\gamma}=&0.
\end{align}
</math>
其逆變換為
:<math>
i_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.
</math>
=== 簡化的變換 ===
在平衡系統中，<math>i_a(t)+i_b(t)+i_c(t)=0</math>，因此，<math>i_\gamma(t)=0</math>。以下是簡化版的變換<ref name="Tahri">F. Tahri, A.Tahri, Eid A. AlRadadi and A. Draou Senior,  "Analysis and Control of Advanced Static VAR compensator Based on the Theory of the Instantaneous Reactive Power," presented at ACEMP, Bodrum, Turkey, 2007.</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.mathworks.com/help/mcb/ref/clarketransform.html|title=Clarke Transform|website=www.mathworks.com|access-date=2024-10-16|archive-date=2025-02-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20250210181429/https://www.mathworks.com/help/mcb/ref/clarketransform.html|dead-url=no}}</ref>

:<math>\begin{align}
i_{\alpha\beta}(t) &= \frac23 \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12\\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}\\
&= \begin{bmatrix} 1 & 0\\
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\end{bmatrix}
\end{align}</math>

是只考慮前二個方程的克拉克變換，其逆變換如下

:<math>i_{abc}(t) = \frac32\begin{bmatrix} \frac23 & 0 \\
-\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\end{bmatrix}</math>
==幾何詮釋==

克拉克變換可以視為是將三個[[相量]]（電壓或電流）投影到二個固定的座標軸（alpha軸和beta軸）上。若三相平衡的話，所有資訊都可以保留，因為方程<math>I_a+I_b+I_c=0</math>和變換後的<math>I_{\gamma}</math>的方程等效。若系統不平衡，則在投影後<math>I_{\gamma}</math>項會有誤差量。因此，<math>I_{\gamma}</math>為0表示三相系統平衡，可以只考慮二個座標下的運算。這是克拉克變換的優雅之處，在三相平衡的假設下，將三個分量的系統變換為二個分量的系統。

另一種理解的方式是方程<math>I_a+I_b+I_c=0</math>定義了一個在三維空間下的平面，alpha-beta座標空間可以理解為該平面上的座標，也就這二個座標軸都在<math>I_a+I_b+I_c=0</math>定義的平面上。

[[Image:AlphaBeta geometric interpretation.gif|center|frame|上圖是<math>\alpha\beta\gamma</math>變換應用在三個相差120度的對稱電流上。三個電流和對應電壓相量的角度差為<math>\delta</math>。圖中The <math>\alpha</math>-<math>\beta</math>軸的標示方式是讓<math>\alpha</math>軸和A相重合，電流向量<math>I_{\alpha\beta\gamma}</math>以角速度<math>\omega</math>旋轉，因為是三相平衡系統，沒有<math>\gamma</math>分量。

==相關條目==
* {{link-en|對稱分量|Symmetrical components}}
* [[Y-Δ变换]]
* [[向量控制]]

==參考資料==
{{reflist}}
==外部連結==
* [https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/123557/ C.J. O'Rourke et al.  "A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070-2083, Dec. 2019.] {{Wayback|url=https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/123557/ |date=20250206180906 }}

[[Category:電機工程]]
[[Category:三相交流電源]]