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[[數學]]的'''克拉克森不等式'''是[[Lp空間|''L''<sup>''p''</sup>空間]]上的一個結果，用兩個[[可測函數]]的''L''<sup>''p''</sup>[[範數]]，來表示它們的和及差的''L''<sup>''p''</sup>[[範數]]的[[上界]]。這不等式是[[平行四邊形恆等式]]的一個推廣。

==不等式敘述==
設<math>(X,\Sigma,\mu)</math>是[[測度空間]]，<math>f,g:X\to \R</math>是在<math>L^p(X)</math>空間內的可測函數。當<math>2 \leq p < +\infty</math>時，有
:<math>\left\| \frac{f + g}{2} \right\|_{L^{p}}^{p} + \left\| \frac{f - g}{2} \right\|_{L^{p}}^{p} \le \frac{1}{2} \left( \| f \|_{L^{p}}^{p} + \| g \|_{L^{p}}^{p} \right)</math>；
當<math>1<p<2</math>時，有
:<math>\left\| \frac{f + g}{2} \right\|_{L^{p}}^{q} + \left\| \frac{f - g}{2} \right\|_{L^{p}}^{q} \le \left( \frac{1}{2} \| f \|_{L^{p}}^{p} +\frac{1}{2} \| g \|_{L^{p}}^{p} \right)^\frac{q}{p}</math>，
其中<math>\frac1{p} + \frac1{q} = 1</math>，即<math>q=\frac p {p-1}</math>。

<math>p>2</math>的情形較易證明，可以簡單地用[[三角不等式]]和函數
:<math>x \mapsto x^{p}</math>
的[[凸函數|凸性]]證出。

==外部連結==
* {{PlanetMath|urlname=ClarksonInequality|title=Clarkson inequality}}

[[Category:賦範空間|C]]
[[Category:代数不等式|C]]