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{{noteTA
|T=zh-hans:开普勒问题; zh-hant:克卜勒問題;
|G1=物理學
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[[File:Jacobi coordinates.svg|thumb|200px|二體問題示意圖。]]
在[[經典力學]]裏，'''克卜勒問題'''是[[二體問題]]的一個特別案例。假若，兩個物體以[[連心力]]<math>\mathbf{F}\,\!</math>互相作用；力的大小與距離<math>r\,\!</math>的[[反平方定律|平方]]成反比。則稱此物理系統所涉及的問題為'''克卜勒問題'''<ref>{{cite book | last = Arnold | first = VI | authorlink =:en:Vladimir Arnold | year = 1989 | title = Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. | publisher = Springer-Verlag | location = New York | pages = 38 | id = ISBN 0-387-96890-3}}</ref>。[[反平方定律|反平方]][[連心力]]以公式表示為
:<math>\mathbf{F} = \frac{k}{r^{2}} \mathbf{\hat{r}}\,\!</math>；

其中，<math>k\,\!</math>是常數，<math>\hat{\mathbf{r}}\,\!</math>是徑向[[單位向量]]。

[[連心力]]可以是吸引性的（<math>k<0\,\!</math>），也可以是排斥性的（<math>k>0\,\!</math>），對應的[[純量勢|位勢]]為

:<math>V(r) = - \frac{k}{r}\,\!</math>。

克卜勒問題是因[[天文學家]][[約翰內斯·克卜勒]]而命名。他推出了在[[天文學]]歷史上，具有關鍵價值的[[克卜勒定律]]。遵守[[克卜勒定律]]的作用力有那些特性呢（'''逆克卜勒問題'''）？在這方面，他也做了很多的研究<ref name="goldstein_1980">{{cite book | last=Goldstein | first=H. | authorlink=:en:Herbert Goldstein | year=1980 | title=Classical Mechanics | edition=2<sup>nd</sup> edition | publisher=Addison Wesley}}</ref>。

在很多狀況下，會遇到克卜勒問題。[[天體力學]]時常會涉及克卜勒問題，因為[[牛頓]][[萬有引力]]遵守[[反平方定律]]。例如，人造衛星環繞著地球，行星環繞著太陽，或雙星系統。克卜勒問題涉及了兩個電荷子的物理運動，因為[[靜電學]]的[[庫侖定律]]遵守[[反平方定律]]。例如，[[氫原子]]，[[電子偶素|正子素]]，與[[緲子偶素]]。這些典型系統，在測驗物理理論與測量[[運動常數|自然常數]]上，都扮演了很重要的角色。

在經典力學裏，克卜勒問題與[[諧振子]]問題是兩個最基本的問題。只有這兩個問題的解答是[[伯特蘭定理|閉合軌道]]；也就是說，物體從一點移動，經過一段路徑後，又回到原先點。在[[經典力學]]裏，克卜勒問題時常被用來發展新的表述方法，像[[拉格朗日力學]]，[[哈密頓力學]]，[[哈密頓-亞可比方程式]]，與[[作用量-角度坐標]]。在克卜勒問題裏，[[拉普拉斯-龍格-冷次向量]]是一個[[運動常數]]。克卜勒問題的解答使科學家能夠用[[經典力學]]完全地解釋清楚行星運動。這行星運動的科學解釋在[[啟蒙時代]]的開啟扮演了重要的角色。

==克卜勒問題解析==
所有的吸引性的[[連心力]]都能夠形成[[圓形]]軌道，前提是連心力必須相等於粒子的[[向心力]]。給定圓半徑，這要求相當於物體的[[角速度]]已被決定。在此條目裏，不會提到非連心力。一般而言，非連心力不能形成圓形軌道。

假設，一個質量為<math>m\,\!</math>的粒子移動於一個[[連心力|連心勢]]<math>V(r)\,\!</math>內。<math>r\,\!</math>是徑向坐標。其[[拉格朗日方程式]]為
:<math>m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - mr \omega^{2} =
m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \frac{L^{2}}{mr^{3}} = - \frac{dV}{dr}\,\!</math>；

其中，時間是<math>t\,\!</math>，[[角速度]]是<math>\omega \equiv \frac{d\theta}{dt}\,\!</math>，[[運動常數]][[角動量]]是<math>L = mr^{2}\omega\,\!</math>。

詳細說明，對於圓形軌道，方程式左手邊第一項目等於零；如預期，連心力<math> - \frac{dV}{dr}\,\!</math>相等於[[向心力]]<math> - mr \omega^{2}\,\!</math>。

角動量定義可以將[[自變數]]從<math>t\,\!</math>改變為<math>\theta\,\!</math>：

:<math>\frac{d}{dt} = \frac{L}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}\,\!</math>，

這樣，新的運動方程式不含時間：
:<math>\frac{L}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right) - \frac{L^{2}}{mr^{3}} = - \frac{dV}{dr}\,\!</math>。

變數變換<math>u \equiv \frac{1}{r}\,\!</math>，將方程式兩邊乘以<math>\frac{mr^{2}}{L^{2}}\,\!</math>，則可得二次[[微分方程式]]：

:<math>\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u= - \frac{m}{L^{2}}\frac{d}{du} V(1/u)\,\!</math>。

對於一個[[反平方定律|反平方]]作用力，像[[萬有引力]]或[[靜電學|靜電力]]，[[純量勢|位勢]]可以表示為
:<math>V(\mathbf{r})=\frac{-k}{r}= - ku\,\!</math>。
 
代入微分方程式，
:<math>\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u= - \frac{m}{L^{2}}\frac{d}{du}V(1/u) = \frac{km}{L^{2}}\,\!</math>。

導引出軌道為
:<math>u\equiv\frac{1}{r}=\frac{km}{L^{2}}\left[1+e\cos\left(\theta - \theta_{0}\right) \right]\,\!</math>；

其中，[[離心率]]是<math>e\,\!</math>，相位常數是<math>\theta_{0}\,\!</math>。這些都是積分常數。

這是一個焦點在[[連心力|力中心點]]的[[圓錐曲線]]方程式。圓錐曲線的離心率與總能量<math>E\,\!</math>有關：
:<math>e=\sqrt{1+\frac{2EL^{2}}{k^{2}m}}\,\!</math>。

假若<math>E=-\frac{k^{2}m}{2L^{2}}\,\!</math>，則<math>e=0\,\!</math>，軌道是[[圓形]]的；假若<math>E<0\,\!</math>，則<math>e<1\,\!</math>，軌道是[[橢圓形]]的；假若<math>E=0\,\!</math>，則<math>e=1\,\!</math>，軌道是[[拋物線]]；假若<math>E>0\,\!</math>，則<math>e>1\,\!</math>，軌道是[[雙曲線]]。

==參閱==
*[[克卜勒定律]]
*[[广义相对论中的开普勒问题|廣義相對論中的克卜勒問題]]
*[[拉普拉斯-龍格-冷次向量]]
*[[伯特蘭定理]]
*[[哈密頓-亞可比方程式]]
*[[作用量-角度坐標]]
*[[牛頓旋轉軌道定理]]

==參考文獻==
<references/>

[[Category:經典力學|K]]
[[Category:天體力學|K]]
[[Category:约翰内斯·开普勒]]