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'''克劳修斯-莫索提方程式'''（{{lang|en|Clausius-Mossotti equation}}）表達了線性[[介電質]]的[[極化性]]和[[相對電容率]]之間的關係，是因義大利物理學者[[莫索提]]（{{lang|it|Ottaviano-Fabrizio Mossotti}}）和德國物理學者[[魯道夫·克勞修斯]]而命名<ref>O. F. Mossotti, Discussione analitica sull’influenza che l’azione di un mezzo dielettrico ha sulla distribuzione dell’elettricità alla superficie di più corpi elettrici disseminati in esso, Memorie di Mathematica e di Fisica della Società Italiana della Scienza Residente in Modena, vol. 24, p. 49-74 (1850)</ref><ref>R. Clausius, Abhandlungen über die mechanische Wärmetheorie, vol. 2, p. 143, Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig (1867).</ref>。這方程式也可以更改為表達[[極化性]]和[[折射率]]之間的關係，此時稱為[[洛倫茲-洛倫茨方程式]]（{{lang|en|Lorentz-Lorenz equation}}）。

極化性是一種微觀屬性，而[[相對電容率]]則是在介電質內部的一種巨觀屬性，所以，這方程式式連結了介電質關於[[電極化]]的微觀屬性與巨觀屬性。

==導引==
一個[[分子]]的極化性<math>\alpha</math>定義為<ref name="Griffiths1998">{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 161 |isbn=0-13-805326-X}}</ref>
:<math>\mathbf{p}\ \stackrel{def}{=}\ \alpha \mathbf{E} </math>；

其中，<math>\mathbf{p}</math>是分子的感應[[電偶極矩]]，<math>\mathbf{E}</math>是作用於分子的[[電場]]。

[[介電質]]的[[電極化強度]]定義為總電偶極矩每單位面積：
:<math>\mathbf{P}(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\ \sum_j N_j (\mathbf{r}) \mathbf{p}_j (\mathbf{r})</math>；

其中，<math>\mathbf{P}</math>是[[電極化強度]]，<math>\mathbf{r}</math>是檢驗位置，<math>N_j</math>、<math>\mathbf{p}_j</math>分別是分子<math>j</math>  的數量每單位面積與電偶極矩。

總合介電質內每一種分子的貢獻，就可以計算出介電質的電極化強度。將極化性的定義式代入，可以得到
:<math>\mathbf{P}(\mathbf{r})= \sum_j N_j (\mathbf{r})\alpha_j \mathbf{E}(\mathbf{r})</math>。

當計算這方程式時，必需先知道在分子位置的電場，稱為「局域電場」<math>\mathbf{E}_{local}</math>。介電質內部的微觀電場，從一個位置到另外位置，其變化可能會相當劇烈，在[[電子]]或[[質子]]附近，電場很大，距離稍微遠一點，電場呈平方反比減弱。所以，很難計算這麼複雜的電場的物理行為。幸運地是，對於大多數計算，並不需要這麼詳細的描述。所以，只要選擇一個足夠大的區域（例如，體積為<math>V'</math>、內中含有上千個分子的圓球體<math>\mathbb{V}'</math>）來計算微觀電場<math>\mathbf{E}_{micro}</math>的平均值，稱為「巨觀電場」<math>\mathbf{E}_{macro}</math>，就可以足夠準確地計算出巨觀物理行為：
:<math>\mathbf{E}_{macro}=\frac{1}{V'}\int_{\mathbb{V}'}  \mathbf{E}_{micro}\ \mathrm{d}^3 r'
</math>。

對於稀薄介電質，分子與分子之間的距離相隔很遠，鄰近分子的貢獻很小，局域電場可以近似為巨觀電場　<math>\mathbf{E}_{macro}</math>：
:<math>\mathbf{E}_{local}\approx \mathbf{E}_{macro}</math>。

但對於緻密介電質，分子與分子之間的距離相隔很近，鄰近分子的貢獻很大，必需將鄰近分子的貢獻<math>\mathbf{E}_{1}</math>納入考量：
:<math>\mathbf{E}_{local}= \mathbf{E}_{macro}+\mathbf{E}_{1}</math>。

因為巨觀電場已經包括了電極化所產生的電場（稱為「去極化場」）<math>\mathbf{E}_{p}</math>，為了不重覆計算，在計算<math>\mathbf{E}_{1}</math>時，必需將鄰近分子的真實貢獻<math>\mathbf{E}_{near}</math>減掉去極化場：
:<math>\mathbf{E}_{1}=\mathbf{E}_{near} - \mathbf{E}_{p}</math>。

舉一個簡單案例，根據[[洛倫茲關係]]（{{lang|en|Lorentz Relation}}），對於[[立方晶系]]結構的[[晶體]]或各向同性的介電質，由於高度的對稱性，
<math>\mathbf{E}_{near}=0</math>。

現在思考以分子位置<math>\mathbf{r}</math>為圓心、體積為<math>V'</math>的圓球體<math>\mathbb{V}'</math>，感受到外電場的作用，<math>\mathbb{V}'</math>內部的束縛電荷會被電極化，從而產生電極化強度<math>\mathbf{P}</math>。假設在<math>\mathbb{V}'</math>內部的電極化強度<math>\mathbf{P}</math>相當均勻，則電極化強度<math>\mathbf{P}</math>與<math>\mathbb{V}'</math>的電偶極矩之間的關係為
:<math>\mathbf{p}=\mathbf{P}V'</math>。

這[[电偶极矩#範例：處於均勻外電場的介電質球|線性均勻介電質圓球體內部的電場]]為<ref name=Kittel2005>{{citation|last=Kittel|first=Charles|title=Introduction to Solid State Physics|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=2005|location=USA|edition=8th|pages=pp. 460-465|isbn=978-0-471-41526-8}}</ref>
:<math>\mathbf{E}_{p}= - \frac{\mathbf{P}}{3\epsilon_0} </math>。

綜合前面得到的結果：
:<math>\mathbf{P}= \sum_j N_j\alpha_j ( \mathbf{E}_{macro}- \mathbf{E}_{p})= \sum_j N_j \alpha_j( \mathbf{E}_{macro}+\frac{\mathbf{P}}{3\epsilon_0})</math>。

對於[[各向同性]]、[[線性]]、均勻的介電質，電極化率<math>\chi_e</math>定義為
:<math>\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \chi_e \mathbf{E}_{macro}</math>。

電極化率與極化性的關係為
:<math>\frac{\chi_e}{\chi_e+3}=\frac{1 }{3\epsilon_0 }\sum_j N_j \alpha_j</math>。

由於相對電容率<math>\epsilon_r</math>與電極化率的關係為
:<math>\epsilon_r=1+\chi_e</math>。

所以，電容率與極化性的關係為
:<math>\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}=\frac{1 }{3\epsilon_0 }\sum_j N_j \alpha_j</math>。

這方程式就是克劳修斯-莫索提方程式。

電介質的[[折射率]]<math>n</math>為
:<math>n=\sqrt{\epsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\epsilon_r}</math>；

其中，<math>\mu_r</math>是[[相對磁導率]]。

對於大多數介電質，<math>\mu_r=1</math>，所以，折射率近似為<math>n\approx\sqrt{\epsilon_r}</math>  。將折射率帶入克劳修斯-莫索提方程式，就可以給出洛倫茲-洛倫茨方程式<ref name="Feynman2006">{{citation|last = 費曼|first = 理查|authorlink = 理查·費曼|last2 = 雷頓|first2 = 羅伯|last3 = 山德士|first3 = 馬修|title = 費曼物理學講義II (4)電磁與物質|publisher =天下文化書|location =台灣|date = 2006|pages = pp. 177ff|isbn = 978-986-216-476-1 }}</ref>：
:<math>\frac{n^2-1}{n^2+2}=\frac{1 }{3\epsilon_0 }\sum_j N_j \alpha_j</math>。

==參考文獻==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:K}}
[[Category:電學]]
[[Category:電介質]]
[[Category:物質內的電場和磁場]]