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{{Unreferenced|time=2023-07-18T11:39:20+00:00}}
{{noteTA|G1=Math}}
'''光滑函数'''（{{lang-en|Smooth function}}）在[[数学]]中特指无穷[[可导]]的函数，不存在[[尖点]]，也就是说所有的有限[[阶]]导数都存在。例如，[[指数函数]]就是光滑的，因为指数函数的导数是指数函数本身。

若一函数是[[连续函数|连续]]的，则称其为<math>C^0</math>函数；若函数存在导函数，且其導函數連續，則稱為'''连续可导'''，記为<math>C^1</math>函数；若一函数<math>n</math>阶可导，并且其<math>n</math>阶导函数连续，则为<math>C^n</math>函数（<math>n\geq 1</math>）。而光滑函数是对所有<math>n</math>都属于<math>C^n</math>函数，特称其为'''<math>C^\infty</math>函数'''。

==按照要求构造光滑函数==

构造在给定[[区间]]外为零但在区间内非零的光滑函数经常很有用。这是可以达到的；另一方面来讲，一个[[幂级数]]不可能有这样的属性。这表明光滑和[[解析函数]]之间存在着巨大的鸿沟；所以[[泰勒定理]]一般不可以应用到展开光滑函数。

要给出这样的函数的显式构造，我们从构造如下的函数开始

:<math>f(x)=\exp\left(-\frac{1}{x}\right)</math>，

开始先对<math>x>0</math>定义。我们不但有

:<math>\lim_{x\to 0} f(x)\to 0</math>（从上式可以得到） 

而且对于所有[[多项式]]<math>P</math>,有

:<math>\lim_{x\to 0} P(x)f(x)\to 0 </math>

因为负指数的[[指数函数|指数增长]]起支配作用。这意味着对于<math>x<0</math>设定<math>f(x)=0</math>将给出一个光滑函数。像<math>f(x)f(1-x)</math>这样的组合可以以任何给定区间为[[支撑集|支撑]]构成；在这个特例中，该区间是<math>[0,1]</math>。这样的函数从<math>0</math>开始有特别慢的‘启动’。

参看[[非解析無窮可微函數]]。

==和解析函数理论的关系==

用[[复分析]]的术语考虑，如下的函数

:<math>g(z)=\exp(-\frac{1}{z^2})</math>

对于<math>z</math>取任何实数值是光滑的，但在<math>z=0</math>有一个[[本质奇点]]。也就是，在<math>z = 0</math>附近的行为不好；但恰巧只看实参数时无法让我们发现这一点。

==光滑单位分解==

给定闭[[支撑 (数学)|支撑]]的光滑函数用于构造'''光滑单位分解'''（参看[[拓扑学术语]]'''单位分解'''条目）；这在[[光滑流形]]的研究中有基本的作用，例如在证明[[黎曼度量]]可以从他们的局部存在性全局的定义时。一个简单的情形是实直线上的一个'''突起函数'''，一个光滑函数<math>f</math>在区间<math>[a,b]</math>外为<math>0</math>，并且使得

:<math>f(x) > 0</math> for <math>a < x < b</math>. 

给定一些直线上的互相重叠的区间，可以在每个区间上构造突起函数，在半无限区间（<math>-\infty,c]</math>和<math>[d,+\infty</math>）上也可以，以覆盖整条直线，使得函数的和总是<math>1</math>。

根据前面所说，单位分解不适用于[[全纯函数]]；它们的对于存在性和[[解析连续]]的不同行为是[[层 (数学)|层]]论的根源之一。作为对比，光滑函数的层趋向于不包含很多拓扑信息。

==流形的光滑映射==

[[光滑流形]]之间的'''光滑映射'''可以用[[局部坐标|坐标图]]的方式来定义。因为函数的光滑性的概念和特定的坐标图的选取无关。这样的映射有一个'''一阶'''[[导数]]，定义在[[切向量]]上；它给出了在[[切丛]]的级别上的对应纤维间的线性映射。

==高等定义==
在需要讨论所有无穷可微函数的集合时，以及该空间的元素在微分和积分、求和、取极限时的行为时，人们发现所有光滑函数的空间不是一个合适的选择，因为它在这些操作下不是[[完备]]和[[闭合]]的。对于这个情况的一个正确处理，我们可以采用[[索伯列夫空间]]（Sobolev space）的概念。

==参看==
*[[准解析函数]]
*[[分段光滑函数]]

==外部链接==

[[Category:微分学]]
[[Category:数学分析]]
[[Category:光滑函数| ]]