查看“︁充分统计量”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
|1= zh-cn: 完全;zh-tw:完備;
|2= zh-cn: 参数;zh-tw:母數;zh-hant:參數;
}}

在[[統計學]]中，一個關於一個統計模型和相關的未知[[母數]]的'''充分統計量'''（Sufficient Statistic）是指“没有任何其他可以以同一樣本中計算得出的[[統計量]]可以提供任何有關未知參數的额外訊息”。<ref name="Fisher1922">{{Cite journal|title=On the mathematical foundations of theoretical statistics|url=http://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/handle/2440/15172|last=Fisher|first=R.A.|authorlink=Ronald Fisher|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A|doi=10.1098/rsta.1922.0009|year=1922|volume=222|pages=309–368|jfm=48.1280.02|jstor=91208|access-date=2017-12-25|archive-date=2017-07-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20170729213416/https://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/handle/2440/15172|dead-url=no}}</ref>

==数学定义 ==
<span>对于统计量</span> <math>t=T(X) </math>，若数据<math> X </math>在已知<math> t = T(X) </math>时的条件分布不依赖于参数 <math>\theta </math>，则称其是'''关于参数 '''<span>'''<math> \theta </math> 的充分统计量。'''即对任何[[博雷爾集|博雷尔集]] <math> A </math>，有<math>\text{Pr}(x\in A|t,\theta)=\text{Pr}(x\in A|t)</math></span>。

===例子 ===
对于[[方差]]已知，[[期望值|均值]]为未知参数 <math> \mu </math> 的[[正态分布]]，[[样本均值]]是一个充分统计量。

==費雪分解定理 ==
若一个统计模型具有似然函数''f<sub><span>θ</span></sub>(<span>x</span>)''，则''T''是''θ''的充分统计量当且仅当存在非负函数''g''与''h''，使得
: <math>f_\theta(x)=h(x)g_\theta(T(x)).</math>

==最小充分统计量 ==
若一个充分统计量是任何其他充分统计量的函数，则称其是一个'''最小充分统计量'''。即，统计量''S''(''X'')是最小充分统计量[[当且仅当]]<ref>Dodge (2003) — entry for minimal sufficient statistics</ref>
# ''S''(''X'')是充分统计量，
# 如果''T''(''X'')是一个充分统计量，那么存在一个函数''f'' 使得 ''S''(''X'')= ''f''(''T''(''X''))。
一个有用的结论指出，当概率密度''f''<sub>θ</sub>存在时，''S''(''X'')是最小充分统计量当且仅当
: <math>\frac{f_\theta(x)}{f_\theta(y)}</math> 与''θ''无关<math>\Leftrightarrow</math> ''S''(''x'')= ''S''(''y'').
这一结论很容易由前述费希尔分解定理得出。

巴哈杜尔于1954年发现了一个最小充分统计量不存在的例子。<ref>Lehmann and Casella (1998), ''Theory of Point Estimation'', 2nd Edition, Springer, p 37</ref> 然而，在一般的条件下，最小充分统计量总是存在的。

如果至少存在一个最小充分统计量，则每个[[完全性 (统计学)|完備]]充分统计量都是最小充分统计量<ref>Lehmann and Casella (1998), ''Theory of Point Estimation'', 2nd Edition, Springer, page 42</ref>。

==註釋==
{{reflist|30em}}
==参考文献==
* {{Springer|title=Sufficient statistic|id=S/s091070|first=A.S.|last=Kholevo}}
* {{cite book
  | last = Lehmann
  | first = E. L.
  |author2=Casella, G.
   | title = Theory of Point Estimation
  | year = 1998
  | publisher = Springer
  | isbn = 0-387-98502-6
  | edition = 2nd
  | pages = Chapter 4
  | nopp = TRUE }}
*Dodge, Y. (2003) ''The Oxford Dictionary of Statistical Terms'', OUP. {{isbn|0-19-920613-9}}

{{Statistics|inference|collapsed}}

{{DEFAULTSORT:Sufficient Statistic}}
[[Category:統計理論]]
[[Category:統計原則]]
[[Category:包含证明的条目]]