查看“︁元素 (范畴论)”︁的源代码

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{{Translating|[[:en:Element (category theory)]]||tpercent=30|time=2022-6-28}}

[[范畴论]]的'''元素'''（{{Lang-en|element}}），或'''点'''（{{Lang-en|point}}），将[[集合论]]中[[集合 (数学)|集合]][[元素 (數學)|元素]]的概念更推广到任何[[範疇 (數學)|范畴]]的对象。通常情况下，这一想法重新表述了[[泛性质]][[态射]]（如[[單態射]]和[[积 (范畴论)|积]]）的定义及属性，用更普遍的术语映射其与元素的关系，從而使態射和元素可以互相轉換。[[米田引理]]和{{Le|米切尔嵌入定理|Mitchell's embedding theorem}}等一些普遍結論說明此種轉換為何成立。这种范畴论的方法（尤其是對米田引理的運用）由[[亚历山大·格罗滕迪克|格罗滕迪克]]提出，通常被称为'''点函子'''方法（{{lang-en|the method of the functor of points}}）。

== 定义 ==
假设[[範疇 (數學)|范畴]]'''C'''拥有''A'' ， ''T''两个对象。 ''A''的''T''值点只是一个<math>p \colon T \to A</math>的态射。 A 的所有''T''值点的集合随着''T''而[[自然变换]]，从而产生''A''的“点[[函子]]”；根据[[米田引理]]，这可以将''A''完全确定为'''C'''的对象。

== 态射性质 ==

== 几何原点 ==

== 与集合论的关系 ==
当'''C'''是范畴'''Set'''，即实际元素的[[集合范畴|集合]]时，其与范畴论元素的情况类似。在这种情况下，我们有“单点”集合{1}，任何集合''S''的元素都与''S''的{1}的值点相同。此外，还有{{Nowrap|{1,2<nowiki>}</nowiki>}}值点，它们是''S''的元素对，或''S&#x2009;×&#x2009;S''的元素。这些高阶的点和集合并没有直接联系： ''S''完全由它的{{Nowrap|{1}}}点决定。然而，如上所示，这是特殊情况（因为所有集合都是{1}的迭代{{Le|余积|Coproduct}}）。

== 参考书目 ==
* {{Cite book|last=Barr|first=Michael|last2=Wells, Charles|title=Toposes, Triples and Theories|publisher=Springer|year=1985|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf|access-date=2022-06-28|archive-date=2020-11-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20201125155210/http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf|dead-url=no}}
* {{Cite book|last=Awodey|first=Steve|title=Category theory|publisher=Oxford University Press|year=2006|isbn=0-19-856861-4|at=Section 2.3}}

{{范畴论}}
[[Category:范畴论]]