查看“︁優環”︁的源代码

在[[交換代數]]中，尤其在[[代數幾何]]的應用中，'''優環'''（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一類性質與[[完備局部環]]相近的交換[[諾特環]]。這類環首先由[[亞歷山大·格羅滕迪克]]定義。

代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環，此外優環也與奇點消解相關；[[廣中平祐]]在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。
 
==定義==
以下所論之環皆假定為么交換環。

* 一個包含域 <math>k</math> 的環 <math>R</math> 被稱作在 <math>k</math> 上是'''幾何正則'''的，若且唯若對任何有限擴張 <math>k'/k</math>，環 <math>R \otimes_k k'</math> 都是正則的。
* 一個環同態 <math>\phi: R \rightarrow S</math> 被稱作是'''正則'''的，若且唯若它是[[平坦_(環論)|平坦]]的，且對任何 <math>\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)</math> 其纖維 <math>S \otimes_R k(\mathfrak{p})</math> 在剩餘域 <math>k(\mathfrak{p})</math> 上幾何正則。
* 一個環 <math>R</math> 被稱作 '''G-環'''（或'''格羅滕迪克'''環），若且唯若它是諾特環，且所有的'''形式纖維'''都是幾何正則的；第二個條件意謂：對任何 <math>\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)</math>，環同態
: <math>R_\mathfrak{p} \rightarrow \widehat{R_\mathfrak{p}}</math> 是正則的。
* 一個環 <math>R</math> 被稱作是'''擬優環'''，若且唯若它是個 G-環，且對任意有限生成的 <math>R</math>-代數 <math>S</math>，<math>\mathrm{Spec}(S)</math> 的奇點集是閉的。
* 一個'''優環'''是一個[[鏈環|泛鏈]]的擬優環。

實際應用中的諾特環幾乎都是泛鏈的，因此擬優環與優環幾無差別。

若一個局部諾特[[概形]] <math>X</math> 上有開覆蓋 <math>U_i</math>，使得每個 <math>U_i</math> 都是優環的[[交換環譜|譜]]，則稱 <math>X</math> 為'''優概形'''。

==優環的例子==
* 完備局部諾特環，包括域。
* 特徵為零的戴德金環，包括整數環 <math>\mathbb Z</math>。
* <math>\mathbb R</math> 或 <math>\mathbb C</math> 上的收斂冪級數環。
* 優環的[[局部化]]仍為優環。
* 優環上的有限生成代數仍為優環。

以下將給出一個特徵 <math>p>0</math> 的一維局部正則環而非優環的例子。設 <math>k</math> 是一個特徵 p 的域，<math>[k:k^p]=\infty</math>，令 <math>R := k[[X]]</math>，更令
: <math> A := \{\sum_{a_i}X^i \in R : [k^p(a_1, \cdots) : k^p] < \infty \}</math>
則 <math>A</math> 有非幾何正則的的形式纖維，故非優環。

凡擬優環皆為[[永田雅宜環]]。

==優概形與擬優概形==
如果一個概形 <math>X</math> 有仿射開覆蓋 <math>X = \bigcup U_\alpha</math>，使得每個 <math>U_\alpha</math> 都是優環的[[環的譜|譜]]，則稱 <math>X</math> 為'''優概形'''。此條件一旦對某個仿射開覆蓋滿足，則被所有仿射開覆蓋滿足。

'''擬優概形'''的定義類此。

==奇點解消==
擬優環與[[奇點解消]]問題關係密切，這似乎也是格羅滕迪克定義擬優環的動機。格羅滕迪克在 1965 年觀察到：若能在所有完備的局部諾特整環中消解奇點，則在所有既約的擬優環中亦然。[[廣中平祐]]在1964年證明了：特徵為零時，完備局部諾特整環中皆可消解奇點。因此在特徵為零的域上，凡優環皆可消解奇點。反之，若能在諾特環 <math>R</math> 上的所有有限生成整代數上消解奇點，則 <math>R</math> 是擬優環。

==文獻==
*{{springer |id=e/e036760|title=Excellent ring|author=V.I. Danilov}}
*A. Grothendieck,   J. Dieudonne,   [http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__24__5_0 ''Eléments de géométrie algébrique''] {{Wayback|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__24__5_0 |date=20070911200609 }}  Publ. Math. IHES , 24, section 7 (1965)
*Hironaka, Heisuke [http://links.jstor.org/sici?sici=0003-486X%28196401%292%3A79%3A1%3C109%3AROSOAA%3E2.0.CO%3B2-M  ''Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero.'' I],         [http://links.jstor.org/sici?sici=0003-486X%28196403%292%3A79%3A2%3C205%3AROSOAA%3E2.0.CO%3B2-I II].  Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2)  79  1964 205-326. 
*H. Matsumura, ''Commutative algebra'' ISBN 0-8053-7026-9, chapter 13.

[[Category:代數幾何|Y]]
[[Category:交換代數|Y]]
[[Category:环论]]