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'''傳遞函數矩陣'''（transfer function matrix）或'''傳遞矩陣'''（transfer matrix）是[[控制系統]]以及許多工程領域的名詞，是將[[SISO系統]]中的[[传递函数]]擴展到[[MIMO]]系統<ref>Chen, p. 1038</ref>。[[矩阵]]表示系統輸出跟輸入之間的關係。在線性非時變系統中是格外有用的工具，因為其傳遞函數矩陣可以用[[S平面]]來表示。

在一些只由[[被動元件]]組成的系統中，可以清楚的區分哪些變數是輸入，哪些是輸出。在電子系統中的作法，將所有電壓變數組合成一組，視為是傳遞函數矩陣的輸出，再將電流變數組合成另外一組起來，視為是輸入。這樣形成的傳遞函數矩陣中，每個元素都是[[阻抗]]。這種阻抗（及阻抗矩陣）的概念也用到其他能量的學科中，特別是力學及聲學。

許多控制系統包括不同的能量形式，其傳遞函數矩陣也會有不同的單位，一方面需要描述其中在各能量形式之間轉換的[[换能器]]，另一方面也要描述整體的系統。若系統中有適當能量流動的模型，需要選擇對應的變數，以方便模型的建立。
== 一般 ==
{{see also|羅森布羅克系統矩陣}}

有{{mvar|m}}個輸出及{{mvar|n}}個輸入的MIMO系統，可以用{{math|''m'' × ''n''}}矩陣來表示，其中的每一個元素都是由一個輸入轉換到一個輸出的傳遞函數。例如針對三個輸入，二個輸出的系統，可以寫成

:<math>
\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} 
g_{11} & g_{12} & g_{13} \\
g_{21} & g_{22} & g_{23}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}
</math>

其中{{mvar|u<sub>n</sub>}}是輸入，{{mvar|y<sub>m</sub>}}是輸出，而{{mvar|g<sub>mn</sub>}}是傳遞函數。若寫成矩陣運算的形式，可以寫成

:<math> \mathbf Y = \mathbf G \mathbf U </math>

其中{{math|'''Y'''}}是輸出的向量，{{math|'''G'''}}是傳遞函數矩陣，而{{math|'''U'''}}是輸入向量。

在許多應用中，要分析的系統是[[线性时不变系统理论|线性时不变]]（LTI）系統。此時，可以將傳遞函數矩陣以[[拉普拉斯变换]]（ [[連續時間]]系統的例子）或[[Z轉換]]（離散時間系統的例子）來表示。因此可以寫成

:<math> \mathbf Y (s) = \mathbf G (s) \mathbf U (s) </math>

其中變數及矩陣都以{{mvar|s}}來表示，{{mvar|s}}是由於拉氏轉換所產生，S平面的複變頻率。此條目中的例子都假設是此情形。在離散時間系統下，{{mvar|s}}會被Z轉換的{{mvar|z}}所代替，但在分析時沒有影響。若矩陣是真分有理矩陣（proper rational matrix），也就是每一個元素都是[[真分傳遞函數]]時，格外有用，可以應用[[状态空间]]的概念<ref>{{multiref|Levine, p. 481|Chen, pp. 1037–1038}}</ref>。

在系統工程中，系統傳遞函數矩陣{{math|'''G''' (''s'')}}會分為二部份：{{math|'''H''' (''s'')}}是待測的系統，{{math|'''C'''(''s'')}}是控制器。{{math|'''C''' (''s'')}}的輸入是{{math|'''G''' (''s'')}}的輸入，{{math|'''C''' (''s'')}}的輸出是{{math|'''H''' (''s'')}}的輸入，{{math|'''H''' (''s'')}}的輸出是{{math|'''G''' (''s'')}}的輸出<ref>Kavanagh, p. 350</ref>
== 電子系統 ==
電子系統中的輸入變數及輸出變數往往不容易區分，可能會因環境及觀點而不同。在這種情形下，表達能量流進或流出系統位置的{{link-en|埠 (電路)|Port (circuit theory)|埠}}可能會比輸入或是輸出更理想。常常會針對一個埠（{{mvar|p}}）定義二個變數：埠的[[電壓]]（{{mvar|V<sub>p</sub>}}）及流進的[[电流]]。例如，[[雙埠網路]]可以定義如下：

:<math>
\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} \\
z_{21} & z_{22} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}
</math>

其中{{mvar|z<sub>mn</sub>}}是{{link-en|阻抗參數|impedance parameters}}，或是''z''參數。如此名稱的原因是因為其中每一個元素的單位都是[[阻抗]]，而且表示一個埠的電壓及另一埠電流之間的關係。''z''參數不是表達雙埠網路唯一的方式。有六種基本的矩陣表示式，每一種都有適用的特定網路拓樸<ref>{{multiref|Chen, pp. 54–55|Iyer, p. 240|Bakshi & Bakshi, p. 420}}</ref>。不過若是超過二埠的多埠網路，只有二種矩陣表示式可以適合，分別是前面提到的''z''參數，以及其倒數{{link-en|導納參數|admittance parameters}}或''y''參數<ref>Choma, p. 197</ref>
[[file:Resistive divider2.svg|thumb|upright=0.7|分壓器電路]]
為了說明埠電壓和電流。以及輸入及輸出之間的關係，考慮以下簡單的分壓電路。若只要用輸入電壓({{math|''V''<sub>1</sub>}}來表示輸出電壓{{math|''V''<sub>2</sub>}}，可以寫成下式

:<math>
\begin{bmatrix} V_2 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} 
\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} V_1 \end{bmatrix}
</math>

可以視為是1×1傳遞函數矩陣的特例。若埠2沒有電流流出，此表示式可以正確預測埠2的電壓，但若負載電流增加，預測的電壓就會越來越不準。若希望反過來使用這個電路，用電壓驅動埠2，計算埠1的電壓，就算埠1完全沒有負載電流，結果也不正確。其預測的結果會是埠1的輸出電壓比埠2的輸入電壓要大，在這種純電阻電路下是不可能的。為了要正確的預測電路的行為，也需要考慮從埠流過的電流，這也就是傳遞函數矩陣的目的<ref>Yang & Lee, pp. 37–38</ref>，其阻抗矩陣為

:<math>
\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
R_1 + R_2 & R_2 \\
R_2 & R_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}
</math>

可以在各輸入及輸出條件下，完全描述其行為<ref>Bessai, pp. 4–5</ref>。

在[[微波]]頻率下，很難使用用電流及電壓組成的傳遞矩陣。電壓很難直接量測，電流也不可能。而量測技術中需要的開路及短路也無法實現。若是用[[波导管]]實現，電路的電壓及電流是沒有意義的。因此傳遞函數矩陣會用其他的變數。例如使用傳送進入的[[功率]]以及反射的功率，這個用微波頻率[[分布元件电路]]的[[传输线模型]]技術即可求得。這類參數中，最廣為人知的是{{link-en|散射參數|scattering parameters}}，也稱為是s參數<ref>{{multiref|Nguyen, p. 271|Bessai, p. 1}}</ref>。

==力學系統及其他系統==
[[File:VIEW TO SOUTHWEST. DETAIL, GEAR TRAIN SYSTEM, CONTROL CABIN INTERIOR. - Gianella Bridge, Spanning Sacramento River at State Highway 32, Hamilton City, Glenn County, CA HAER CAL,11-HAMCI.V,1-22.tif|thumb|橋的控制室用的齒輪組。齒輪組是雙埠系統]]
電路上阻抗的概念，可以透過{{link-en|力學-電子類比|mechanical-electrical analogy}}轉換{{link-en|力學阻抗|mechanical impedance}}為，應用在力學系統或是其他系統上，因此阻抗參數以及其他雙埠網路的參數可以用在其他力學領域中。在此作法中，效果變數（effort variable）視為是電壓，而流變數（flow variable）視為是電流。在只考慮[[平移]]的力學系統中，效果變數和流變數分別是[[力]]及[[速度]]<ref name="#1">Busch-Vishniac, pp. 19–20</ref>。

用雙埠網路表示機械元件的行為有其好處，因為元件可能會反向運作，其效果和負載在輸入端或是輸出端有關。例如齒輪組常常會用其齒輪比表示，是SISO轉換函數。但齒輪組輸出{{link-en|軸 (機械工程)|shaft (mechanical engineering)|軸}}又用來驅動輸入軸，就需要MIMO分析。在此例中，效果變數是[[力矩]] {{mvar|T}}，而流變數（flow variable）是[[角速度]] {{mvar|ω}}。其z參數的傳遞函數矩陣為

:<math>
\begin{bmatrix} T_1 \\ T_2 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} \\
z_{21} & z_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \end{bmatrix}
</math>

不過，z參數可能不太適合描述齒輪組。齒輪組是[[变压器]]的類比，而h參數適合描述变压器，因為其中直接用到匝數比（類似齒輪組的齒輪比）<ref>Olsen, pp. 239–240</ref>，其h參數的傳遞函數矩陣是

:<math>
\begin{bmatrix} T_1 \\ \omega_2 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
h_{11} & h_{12} \\
h_{21} & h_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \omega_1 \\ T_2 \end{bmatrix}
</math>

:其中
:{{math|''h''<sub>21</sub>}}是輸出無負載時的速度比
:{{math|''h''<sub>12</sub>}}是輸入軸卡住時，反向的力軸比，等於理想齒輪的前饋速度比
:{{math|''h''<sub>11</sub>}}是輸出軸沒有負載時，的輸入旋轉力學阻抗
:{{math|''h''<sub>22</sub>}}是輸入軸卡住時，輸出軸的旋轉力學[[导纳]]。

若是沒有摩擦力的理想齒輪，可以簡化成下式

:<math>
\begin{bmatrix} T_1 \\ \omega_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 
0 & N \\
N & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \omega_1 \\ T_2 \end{bmatrix}
</math>

其中{{mvar|N}}是齒輪比 <ref>{{multiref|Busch-Vishniac, p. 20|Koenig & Blackwell, p. 170}}</ref>

== 換流器及致動器 ==
[[File:Filterbaustein MF200 1 800 293.jpg|thumb|打開的機械濾波器，在兩頭都有機械-電子的換流器]]
有些系統中利用了不同形式的能量（例如電能、機械能），並且在這些能量之間進行轉換。傳遞函數矩陣需要能透過埠來處理這些不同能量領域中的成份。在[[机器人学]]及[[机械电子学]]中，會用到[[执行器]]。一般會包括一個[[换能器]]，將電子領域中的控制系統信號轉換為力學領域中的運動。控制系統也需要[[传感器]]偵測運動，並且轉換為電子領域的信號，才能透過回授系統控制其運動。其他系統中的感測器可能是將其他領域中（例如光學、聲音、熱、流體流動或化學）的信號轉換為電子信號，例如[[機械濾波器]]會需要換流器，將電子訊號轉換為機械的訊號，再將機械的訊號轉換為電子的訊號。

在[[电动机械学]]中，致動器一般會由電子的控制器來驅動，需要換流器的輸入是電子領域，其輸出為力學領域。可以簡單的用SISO轉移函數來處理，不過可能無法考慮到負載電流的影響。因此比較精準的表示法會用二輸入，二輸出的MIMO傳遞函數矩陣，型式如下：

:<math>
\begin{bmatrix} V \\ F \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} \\
z_{21} & z_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I \\ v \end{bmatrix}
</math>

其中{{mvar|F}}是致動器的施力，{{mvar|v}}是致動器的速度。矩陣的元素會有不同的單位；{{math|''z''<sub>11</sub>}}是電子的阻抗，{{math|''z''<sub>22</sub>}}是機械的阻抗，另外二個阻抗是[[跨导]]，有不同的單位<ref name="#2">Pierce, p. 200</ref>

== 聲學系統 ==
[[声学]]系統是[[流體動力學]]中的子領域，兩者關注的輸入及輸出變數是[[压强]]{{mvar|P}}，以及[[體積流率]]{{mvar|Q}}（若是探討聲音在固體中的傳播，可能就要考慮力學系統中的變數，力及速度）。像在[[排氣系統]]中的[[消音器]]，就可以用聲學系統中的二埠系統來表示。其轉換矩陣表示如下：

:<math>
\begin{bmatrix} P_2 \\ Q_2 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} 
T_{11} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} P_1 \\ Q_1 \end{bmatrix}
</math>

此處的{{math|''T<sub>mn</sub>''}}是傳輸參數（transmission parameters），稱為ABCD參數。也可以用z參數來表示此系統，不過傳輸參數在數學的計算有其方便之處，若一個網路的輸出連接另一個網路的輸入時，只要利用矩陣乘法就可以得到新的轉換矩陣<ref>Munjal, p. 81</ref>。

== 不同的變數轉換方式 ==
[[File:Pneumatic Rack and Pinion Actuators.JPG|thumb|氣動齒條齒輪致動器，可以控制水管中的閥門。致動器是兩埠元件，可從氣動系統轉換為機械系統。致動器與閥門構成一個三埠系統。閥門的氣動控制埠和水管的流體流量輸入埠和輸出埠]]  
若系統中包括了不同的能量系統，在考慮不同系統的類比時需要格外留意。選擇的方式會和分析希望得到的結果有關。若希望正確的為整個系統中的能量流來建模，則系統中的二個變數相乘後需要是功率（功率共軛變數），這兩個變數需要可以映射到另一個系統的功率共軛變數。一系統中的功率共軛變數不唯一，因此需要在整個系統中用類似的映射方式<ref>Busch-Vishniac, p. 18</ref>。

一種常見映射方式（此條目例子中所用的方式）是將各能量系統中的效果變數（會產生動作的變數）互相映射，再將各能量系統中的流變數（表示實際動作的變數）。每一對效果變數及流變數都是功率共軛變數，此系統稱為{{link-en|阻抗類比|impedance analogy}}，因此效果變數和流變數的比例類似電子電路中的阻抗<ref>Busch-Vishniac, p. 20</ref>。

除了阻抗類比外，還有另外兩種功率共軛變數的類比方式。{{link-en|流動類比|mobility analogy}}將機械系統中的力類似為電路中的電流（若是阻抗類比，會類比為電壓）。此一類比方式常用在機械濾波器的設計中，也常用在音響電子學中。此映射的好處是維持各系統的網路拓樸，但無法將阻抗類比。Trent類比將功率共軛變數分為across變數及through變數，依其作用是會在元件兩端作用，還是會穿過元件作用而定。Trent類比大部份的結果都和流動類比相同，但流體力學（及聲學）領域不同。Trent類比會將流體力學中的壓強類比為電壓（類似阻抗類比的作法），而機械系統中的力，因為會「穿過」元件作用，仍會類比為電流<ref name="#1"/>。

有些類比不會用功率共軛變數。例如在感測器中，正確的類比能量不是主要目的（感測器的能量多半很小）。選擇方便量測的變數（可能就是感測器要量測的物理量）可能更重要。例如在[[熱阻]]類比中，熱阻會類比為電阻，因此溫度差和熱能就變成電壓及電流。而溫度差的功率共軛不是熱能，而是[[熵]]流率，是無法直接量測的物理量。在磁系統中有類似的情形，[[磁阻]]會類比為電阻，因此[[磁通量]]會類比為電流，而不是將單位時間磁通量類比為電流<ref>Busch-Vishniac, pp. 18, 20</ref>。

== 歷史 ==
[[线性代数]]方程的矩陣表示式已使用一段時間。[[儒勒·昂利·庞加莱]]在1907年首次用二個和電機變數（電壓和電流）有關方程來表示機械變數（力和速度）。Wegel在1921年首次用類似電機阻抗的方式來說明力學阻抗<ref name="#2"/>。

第一個用傳遞函數矩陣來表示MIMO控制系統，是在1950年代由Boksenbom及Hood所提出，但只在他們在為[[美國國家航空諮詢委員會]]研究燃氣渦輪發動機時所提出。<ref>{{multiref|Kavanagh, p. 350|Bokenham & Hood, p. 581}}</ref>。Cruickshank在1955年提出較嚴謹的基礎，但還沒有完整的通用性。1956年的Kavanagh是第一個完整處理通用性的人，建立了系統和控制的矩陣關係，也提供控制系統可行性的判斷準則，可以讓受控系統有符合預期的行為<ref>Kavanagh, pp. 349–350</ref>。

== 相關條目 ==
* {{link-en|傳遞矩陣法 (光學)|Transfer-matrix method (optics)}}

==參考資料==
{{reflist|23em}}

==文獻==
* Bessai, Horst, ''MIMO Signals and Systems'', Springer, 2006 {{isbn|038727457X}}.
* Bakshi, A.V.; Bakshi, U.A., ''Network Theory'', Technical Publications, 2008 {{isbn|8184314027}}.
* Boksenbom, Aaron S.; Hood, Richard, [https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19930092041 "General algebraic method applied to control analysis of complex engine types"] {{Wayback|url=https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19930092041 |date=20161226144945 }}, [[美國國家航空諮詢委員會|National Advisory Committee for Aeronautics]] Report 980, 1950.
* Busch-Vishniac, Ilene J., ''Electromechanical Sensors and Actuators'', Springer, 1999 {{isbn|038798495X}}.
* Chen, Wai Kai, ''The Electrical Engineering Handbook'', Academic Press, 2004 {{isbn|0080477488}}.
* Choma, John, ''Electrical Networks: Theory and Analysis'', Wiley, 1985 {{isbn|0471085286}}.
* Cruickshank, A. J. O., "Matrix formulation of control system equations", ''The Matrix and Tensor Quarterly'', vol. 5, no. 3, p. 76, 1955.
* Iyer, T. S. K. V., ''Circuit Theory'', Tata McGraw-Hill Education, 1985 {{isbn|0074516817}}.
* Kavanagh, R. J., [https://web.archive.org/web/20161226061512/http://booksc.org/book/2062381 "The application of matrix methods to multi-variable control systems"], ''Journal of the Franklin Institute'', vol. 262, iss. 5, pp. 349–367, November 1956.
* Koenig, Herman Edward; Blackwell, William A., ''Electromechanical System Theory'', McGraw-Hill, 1961 {{OCLC|564134}}
* Levine, William S., '' The Control Handbook'', CRC Press, 1996 {{isbn|0849385709}}.
* Nguyen, Cam, ''Radio-Frequency Integrated-Circuit Engineering'', Wiley, 2015 {{isbn|1118936485}}.
* Olsen A., [https://ieeexplore.ieee.org/document/1082571/ "Characterization of Transformers by h-Paraameters"] {{Wayback|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/1082571/ |date=20180608183416 }}, ''IEEE Transactions on Circuit Theory'', vol. 13, iss. 2, pp. 239–240, June 1966.
* Pierce, Allan D. ''Acoustics: an Introduction to its Physical Principles and Applications'', Acoustical Society of America, 1989 {{isbn|0883186128}}.
* Poincaré, H., [https://web.archive.org/web/20161228195325/http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/bibliohp/index.php?a=on&art=%C3%89tude+du+r%C3%A9cepteur+t%C3%A9l%C3%A9phonique&action=Chercher "Etude du récepteur téléphonique"], ''Eclairage Electrique'', vol. 50, pp. 221–372, 1907.
* Wegel, R. L., [https://ieeexplore.ieee.org/document/6594447/ "Theory of magneto-mechanical systems as applied to telephone receivers and similar structures"] {{Wayback|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/6594447/ |date=20180608015504 }}, ''Journal of the American Institute of Electrical Engineers'', vol. 40, pp. 791–802, 1921.
* Yang, Won Y.; Lee, Seung C., ''Circuit Systems with MATLAB and PSpice'', Wiley 2008, {{isbn|0470822406}}.

[[Category:控制理论]]
[[Category:控制工程]]
[[Category:系统工程]]
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[[Category:矩陣]]