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{{NoteTA|G1=物理學}}
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在[[電磁學]]裏，給予含時[[電荷密度]]分佈和[[電流密度]]分佈，可以使用'''傑斐緬柯方程式'''（Jefimenko equation）來計算[[電場]]和[[磁場]]。這方程式因其發現者物理學家{{link-en|歐雷格·傑斐緬柯|Oleg D. Jefimenko}}而命名<ref>{{Citation|last2=McDonald|first2=Kirk T.| title=The relation between expressions for time-dependent electromagnetic fields given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips|journal=American Journal of Physics|volume=65|issue=11|pages=pp. 1074-1076|year=1997}}</ref>。傑斐緬柯方程式是[[馬克士威方程組]]對於這些電荷密度分佈和電流密度分佈的解答<ref>{{Citation|last =Jefimenko|first =Oleg D.|title=Electricity and magnetism: an introduction to the theory of electric and magnetic fields|publisher=Electret Scientific Co.| year =1989|edition=2nd|isbn=9780917406089}}</ref><ref name="Griffiths1998">{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|isbn=0-13-805326-X}}</ref>。

==在真空內的電磁場==
[[File:Source_and_Destination02.jpg|thumb|200px|給予在源位置<math>\mathbf{r}'</math>的電流或電荷分佈，計算在場位置<math>\mathbf{r}</math>產生的電勢或磁向量勢。]]
在[[真空]]內，電場<math>\mathbf{E}</math>和磁場<math>\mathbf{B}</math>可以用傑斐緬柯方程式表達為：
:<math> \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \left[\rho(\mathbf{r}',\,t_r)\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}
+\frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{ |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2} - \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c^2  |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right] d^3\mathbf{r}' </math>、

:<math> \mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'}
\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2}\right]\times(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ d^3\mathbf{r}' </math> ;

其中，<math>\mathbf{r}</math>是場位置，<math>\mathbf{r}'</math>是源位置，<math>t</math>是現在[[時間]]，<math>t_r</math>是[[推遲時間]]，<math>\epsilon_0</math>是[[電常數]]，<math>\mu_0</math>是[[磁常數]]，<math>\rho</math>是[[電荷密度]]，<math>\dot{\rho}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial\rho}{\partial t}</math>定義為電荷密度對於時間的[[偏導數]]，<math>\mathbf{J}</math>是[[電流密度]]，<math>\dot{\mathbf{J}}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t}</math>定義為電流密度對於時間的[[偏導數]]，<math>\mathcal{V}'</math>是體積分的空間，<math>d^3\mathbf{r}' </math>是微小體元素。

===推導===
給予電荷密度分佈<math>\rho(\mathbf{r}',\,t)</math>和電流密度分佈<math>\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t)</math>，推遲純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)</math>和推遲向量勢<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)</math>分別用方程式定義為（參閱[[推遲勢]]）
:<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\  \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'</math>、
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\   \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'</math>。

推遲時間<math>t_r</math>定義為現在時間<math>t</math>減去[[光波]]傳播的時間：
:<math>t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}</math>；

其中，<math>c</math>是[[光速]]。

在這兩個非靜態的推遲勢方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間<math>t_r</math>有關，而不是跟時間無關。

推遲勢與電場<math>\mathbf{E}</math>、磁場<math>\mathbf{B}</math>的關係分別為
:<math>\mathbf{E}= - \nabla\Phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}</math>、
:<math>\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}</math>。

設定<math>\boldsymbol{\mathfrak{R}}</math>為從源位置到場位置的分離向量：
:<math>\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'</math>。

場位置<math>\mathbf{r}</math>、源位置<math>\mathbf{r}'</math>和時間<math>t</math>都是[[自變數]]。分離向量<math>\boldsymbol{\mathfrak{R}}</math>和其大小<math>\mathfrak{R}</math>都是[[應變數]]，跟場位置<math>\mathbf{r}</math>、源位置<math>\mathbf{r}'</math>有關。推遲時間<math>t_r=t - \mathfrak{R}/c</math>也是應變數，跟時間<math>t</math>、分離距離<math>\mathfrak{R}</math>有關。

推遲純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)</math>的[[梯度]]是
:<math>\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \nabla\left(\frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\right)\, d^3\mathbf{r}'= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \left[\frac{\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}+\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\nabla\left(\frac{1}{\mathfrak{R}}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'</math>。

源電荷密度<math>\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)</math>的[[全微分]]是
:<math>\begin{align}
d\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}dt_r \\
 & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}\left(\frac{\partial t_r}{\partial t}dt+\frac{\partial t_r}{\partial \mathfrak{R}}d\mathfrak{R}\right) \\
 & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}\left(dt - \frac{1}{c}d\mathfrak{R}\right) \\
 & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}\left[dt - \frac{1}{c}(\nabla\mathfrak{R} \cdot d\mathbf{r}+\nabla'\mathfrak{R} \cdot d\mathbf{r}')\right] \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

注意到
:<math>\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t}=\frac{\partial t_r}{\partial t}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}=\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}</math>、
:<math>\nabla \mathfrak{R}=\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}</math>。

所以，源電荷密度<math>\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)</math>的梯度是
:<math>\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}\nabla \mathfrak{R}= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}= - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}</math>；

其中，<math>\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)</math>定義為<math>\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t}</math>。

將這公式代入，推遲純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)</math>的梯度是
:<math>\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \left[ - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}} - \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)   \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'</math>。

推遲向量勢<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)</math>對於時間的偏導數為：
:<math>\frac{\partial \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \frac{
\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'
=\frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2}\int_{\mathcal{V}'} \frac{
\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'
</math>。

綜合前面這兩個公式，可以得到電場的傑斐緬柯方程式。同樣方法，可以得到磁場的傑斐緬柯方程式。

==在介質內的電磁場==
對於任意介質，將前面所述電場和磁場的方程式加以延伸<ref>Oleg D. Jefimenko, ''Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media'', American Journal of Physics '''60(10)'''(1992), 899-902.</ref>，可以從電荷密度<math>\rho</math>、電流密度<math>\mathbf{J}</math>、[[電極化強度]]<math>\mathbf{P}</math>、[[磁化强度]]<math>\mathbf{M}</math>，計算出電場<math>\mathbf{E}</math>、[[電位移]]<math>\mathbf{D}</math>、[[磁感應強度]]<math>\mathbf{B}</math>、[[磁場強度]]<math>\mathbf{H}</math>。

==電場和磁場的因果關係==
很多物理學家藉著馬克士威方程組來詮釋為甚麼含時電場與含時磁場會互相生成。這詮釋常常會被納入電磁波形成的理論。但是，傑斐緬柯方程式顯示出，實際上並不是這樣<ref>{{Citation
 |last =Jefimenko|first=Oleg D.|title =Causality Electromagnetic Induction and Gravitation|publisher=Electret Scientific|year=2000| edition=2nd|pages=pp. 16|isbn=0-917406-23-0}}</ref>。傑斐緬柯闡明：
{{Quotation|馬克士威方程組和其解答，都沒有指明電場和磁場之間的因果關係。因此總結，電磁場是一個[[對偶]]實體，是由含時電荷分佈和含時電流分佈共同同時產生的電場和磁場。|歐雷格·傑斐緬柯|Causality Electromagnetic Induction and Gravitation，第16頁}}

==參閱==
*[[電磁波方程式]]
*[[非齊次的電磁波方程|非齊次的電磁波方程式]]
*[[電磁場的數學表述]]
*[[黎納-維謝勢]]
*[[拉莫方程式]]
*[[阿布拉罕-勞侖茲力]]
*[[狹義相對論]]

==參考文獻==
{{reflist}}

[[Category:電動力學|J]]
[[Category:電磁學|J]]