查看“︁偶然對消”︁的源代码

{{image frame|width=150|caption=微積分中偶然對消的例子|border=no|content=<math>\begin{array}{l}
\;\;\; \dfrac     {d}      {dx} \dfrac{1}{x}
\\  =  \dfrac     {d}      {d}  \dfrac{1}{x^2}
\\  =  \dfrac{d\!\!\!\backslash}{d\!\!\!\backslash} \dfrac{1}{x^2}
\\  =  -                        \dfrac{1}{x^2}
\end{array}</math>}}
'''偶然對消'''或'''異常對消'''（Anomalous cancellation）是指[[算術]]上不正確的處理，但其結果恰好是正確的。例如在[[精簡|化簡]][[分數]]時直接將[[分子]]和[[分母]]各位數中相同的數字刪除，這不是正確的約分方法，大部份情形下得到的答案是錯的，但偶爾這樣的運算會出現正確的結果<ref>{{cite mathworld|title=Anomalous Cancellation|urlname=AnomalousCancellation}}</ref>。 

以下是一些偶然對消的例子，十進制下分子及分母都是二位數，分子及分母不相等，且皆非11的倍數，可以偶然對消的分數只有以下這些以及其倒數：

: <math>\frac{64}{16} = \frac{\not64}{1\not6} = \frac{4}{1} = 4</math>

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: <math>\frac{26}{65} = \frac{2\not6}{\not65} = \frac{2}{5}</math>

<!-- extra space for legibility -->

: <math>\frac{19}{95} = \frac{1\not9}{\not95} = \frac{1}{5}</math>

<!-- extra space for legibility -->

: <math>\frac{98}{49} = \frac{\not98}{4\not9} = \frac{8}{4} = 2</math><ref name=boas>Boas, R. P. "Anomalous Cancellation." Ch. 6 in ''Mathematical Plums'' (Ed. R. Honsberger). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp.&nbsp;113–129, 1979.</ref>

博厄斯（Ralph P. Boas, Jr）分析了其他進制下的偶然對消，例如4進制下，分子及分母不相等的二位數分數，偶然對消的例子只有32/13 = 2/1及其倒數<ref name=boas/>。

二位以上的分數也會有偶然對消，例如165/462 = 15/42。

==基本性质==

若采用以素数<math>p</math>进位的数位表示法（也即p-进制数），则这种对消没有分子分母在两位数及以下的解。证明如下：反证假设存在这样的对消，不失一般性的，设这样的对消满足以下等式：

<math>\frac{a||b}{c||a}=\frac{b}{c}</math>

其中用双竖线表示两个数在数位上的[[串接|拼接]]。这可以推出

<math>\frac{ap+b}{cp+a}=\frac{b}{c}\implies (a-b)cp=b(a-c)</math>

注意到 <math>a, b, c</math>都应该是<math>p</math>-进制下的一位整数，故必然有<math>p|b(a-c)</math>。而由<math>b</math>无法为0（否则对消后将原先非零的数变成了0），故唯一解满足<math>a=c</math>，同时这也将导出<math>a=b</math>。该情况下化简成立，但并非化到最简的情形。

==相關條目==
*[[數學笑話]]
*[[無效證明]]
==參考資料==
{{reflist}}
[[Category:算术]]