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[[Image:HittingTimes1.png|thumb|停时的一个范例: [[布朗运动]]的首中时]]

在[[概率论]]中，尤其在[[随机过程]]的研究中，'''停时'''是一种特殊的“随机时刻”。

停止规则和停时理论常在[[概率论]]和[[统计学]]中被提到和应用，其中著名的有{{link-en|可选抽样定理|Optional stopping theorem}}。停时同时在数学证明中也被频繁应用——“驯服时间这一连续统”
<ref>{{cite book
|     last = Chung
|    first = Kai Lai
|    title = Lectures from Markov processes to Brownian motion
|     url = https://archive.org/details/isbn_3540906185
|   series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249
|publisher = Springer-Verlag
| location = New York
|     year = 1982
|     isbn = 0-387-90618-5
}}</ref>。

==定义==
{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>(X,\,\Sigma,\,P)</math>是[[機率空間]]，<math>\leq</math> 是[[集合 (数学)|集合]] <math>T</math> 上的[[全序关系]]，若有個[[单射]] <math>\mathcal{F}:T \to \mathcal{P}[\mathcal{P}(X)]</math> 滿足：

* 對所有 <math>t \in T</math> ， <math>\mathcal{F}(t)</math> 是 <math>X</math> 上的[[Σ-代数]]，且 <math>\mathcal{F}(t) \subseteq \Sigma</math> 。
* 對所有 <math>s,\,t \in T</math> ， 若 <math>t \leq s</math> 則 <math>\mathcal{F}(t) \subseteq \mathcal{F}(s)</math> 

那 <math>\mathcal{F}</math> 被稱為 <math>(X,\,\Sigma,\,P)</math> 上的一個[[滤子 (数学)|'''滤子''']]/'''域流'''（filtration），也可以稱<math>(X,\,\Sigma,\,\mathcal{F},\,P) </math>為一個'''濾波'''（機率）'''空間'''。
}}

要強調是用哪個[[集合 (数学)|集合]] <math>T</math> 去定義濾子的時候，可以仿造[[序列]]的标记，把濾子記為 <math>{\{\mathcal{F}_t\}}_{t \in T} </math> ，然後把 <math>\mathcal{F}(t)</math> 也簡記為 <math>\mathcal{F}_t</math> 。

{{math_theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>(X,\,\Sigma,\,{\{\mathcal{F}_t\}}_{t \in T},\,P) </math>為一個濾波空間，若[[函数]] <math>\tau :X \to T</math> 滿足。
:<math> (\forall t \in T)\bigg\{
    \{
    x \in X \,|\,
        \tau(x) \leq t
    \}
    \in \mathcal{F}_t
\bigg\}</math>
那稱 <math>\tau</math> 為濾子 <math>{\{\mathcal{F}_t\}}_{t \in T}</math> 的一個'''停時'''（stopping time）
}}
==例子==

为了解释一些是或不是停时的随机时刻，考虑一个玩[[輪盤|轮盘赌]]的赌徒，其具有典型的赌场优势，初始时刻赌资为100元：

*赌且只赌一次，对应于停时''<math>\tau</math>''&nbsp;=&nbsp;1，且这是一个停止规则（在停时概念中决定何时停止的规则或条件）。
*当赌徒破产或赢得500元钱时停止赌博是一个停止规则。
*当赌徒获得他所能赢得的最大赌资(此时刻之前以及之后)时停止赌博不是一个停止规则，且不提供一个停止规则：因为它不仅需要此刻和过去的信息，还需要将来的信息。
*当赌徒使其赌资翻倍时（资产为负时若必要则允许贷款）不是一个停止规则，因为只有单边，而且他永远不能使他的赌资翻倍的[[概率]]是正的。（这里假设存在限制使得[[备注诀窍体系]]（[[加倍赌注法]]）或者其变异方法（比如将上次的赌金翻三倍下注）不能被使用。这类限制可以包括针对投注的但并不针对借款。）
*当赌徒使其赌资翻倍或破产时停止赌博是一个停止规则，虽然赌徒赌博的总次数实际上并不一定是有限的，但，他在有限时间内停下来的概率是1。

==局部化==

停时经常被用来概括一些情景具备的随机过程特性，在这些情景中需要的条件只在局部意义上被满足。首先，如果 <math>X</math> 是一个（随机）过程，<math>\tau</math> 是它的一个停时，那么 <math>X^\tau</math> 就用来表示过程 <math>X</math> 在 <math>\tau</math> 时刻停止。
:<math> X^\tau_t=X_{\min(t,\tau)}</math>
那么，<math>X</math> 被认为局部满足 <math>P</math> 特性，若存在一列停时 <math>\tau_n</math>，<math>n \to \infty </math>，<math>1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n}</math> 满足特性 <math>P</math>。常见的例子如下面两个，其中 <math>I = [0,\infty)</math>：.
*（'''局部鞅'''）过程 <math>X</math> 是一个[[局部鞅]]，若它是[[右连左极函数|右连续有左极限的]]，且存在一列停时 <math>\tau_n</math>，<math>n \to \infty </math>，使得 <math>1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n}</math>对 <math>\forall n \in N </math> 是一个[[鞅]]。

*（'''局部可积'''）非负连续的过程 <math>X</math> 是局部可积的，若存在一列停时 <math>\tau_n</math>，<math>n \to \infty </math>，使得<math>\forall n \in N </math>，<math>\mathbb{E}(1_{\{\tau_n>0\}}X^{\tau_n})<\infty</math>。

==停时的类型==

停时（表示时间的下标取自 <math>I=[0,\infty]</math>）常常依据发生时间能否预测被分成几类。

若 <math> \exists {\tau_n}</math>，<math> n \in N</math>，<math> \forall n </math> ，满足 <math>  0<\tau_n<\tau_n+1<\tau</math>，有<math>lim_{n \to \infty}x_n</math>，则停时 <math>\tau</math> 是'''可预测的'''。<math>{\tau_n}</math> 被称为 <math>\tau</math> 的预告，可预测的停时有时则被称作“可预告的”。例子有连续的[[适应过程]]的[[到达时间]]。取 <math> a \in R</math>，设 <math>X</math> 是实值连续过程，若<math>\tau</math> 是第一个使得 <math>X = a</math> 的时刻，则 <math>\tau</math> 是可被 <math>\tau_n</math> 逼近的，即 <math>\tau_n</math>是第一个使得 <math>|X-a|<1/n </math> 的时刻。

可被一列可预测的时刻覆盖的停时称为'''可接近的'''。即，<math>\tau</math> 是可接近的，若：对于部分 <math> n </math>，<math>P(\tau=\tau_n)=1</math>，其中 <math>\tau_n</math> 是可预测的时刻。

若停时 <math>\tau</math>不能被任何递增的停时序列所逼近，则称为'''完全不可接近的'''。等价地，<math>P(\tau = \sigma < \infty)= 0</math>，其中<math>\sigma</math> 是任取的可预测的时刻。例如[[泊松过程|泊松]]跳跃。

每个停时 <math>\tau</math> 都可被惟一分解为一个可接近的时刻和一个完全不可接近的时刻。即，存在惟一的可接近的停时 <math>\sigma</math> 和惟一的完全不可接近的 <math>\upsilon</math>，使得凡有 <math>\sigma < \infty</math> 则 <math>\tau = \sigma</math>，凡有 <math> \upsilon < \infty</math>则 <math>\tau = \upsilon</math>，若 <math> \sigma = \tau = \infty</math>，则 <math>\tau = \infty</math>。在此分解结果中需要说明的是，其中的停时并不一定总是有限的，也可以等于 <math>\infty</math>。

==参见==

* [[最优停止问题]]
* [[秘书问题]]
* [[首中时]]
* [[停止过程]]
* [[停车问题]]

==参考文献==
{{reflist}}
* {{cite book
|   author = Revuz, Daniel and Yor, Marc
|    title = Continuous martingales and Brownian motion
|   series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293
|  edition = Third edition
|publisher = Springer-Verlag
| location = Berlin
|     year = 1999
|     isbn = 3-540-64325-7
}}
* {{cite book
|   author = H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis
|    title = Quickest Detection
|  edition = First edition
|publisher = Cambridge University Press
| location = Cambridge
|     year = 2008
|     isbn = 9780521621045
}}
* {{cite book
|     last = Protter
|    first = Philip E.
|    title = Stochastic integration and differential equations
|   series = Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21
|  edition = Second edition (version 2.1, corrected third printing)
|publisher = Springer-Verlag
| location = Berlin
|     year = 2005
|     isbn = 3-540-00313-4
}}
===延伸阅读===
* [https://web.archive.org/web/20080913145914/http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ss%2F1177012493 Thomas S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?", Stat. Sci. vol. 4, 282–296, (1989).]
* [https://web.archive.org/web/20120226140702/http://www.bramdejonge.nl/pdf/stoppingtimes.pdf An introduction to stopping times.]
* F. Thomas Bruss, "Sum the odds to one and stop", Annals of Probability, Vol. 4, 1384–1391,(2000) 

* {{cite book
|title= Optimal Stopping Rules
|last = Shiryaev
|first= Albert N.
|isbn = 3540740104
|year = 2007
|publisher=Springer
}}

{{DEFAULTSORT:Stopping Time}}
[[Category:随机过程]]