查看“︁偏度”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math
|1= zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
|2= zh-hans:矩阵; zh-tw:矩陣;zh-hant:矩陣
|3= zh-cn:原点矩; zh-tw:原動差
|4= zh-cn:中心矩; zh-tw:主動差
}}

[[Image:SkewedDistribution.png|thumb|200px|偏度不為零的實驗數據樣本（[[小麥]][[胚芽鞘]]的[[向地性|向地反應]]：1,790）]]
'''偏度'''（{{lang-en|skewness}}），亦稱'''歪度'''，在[[機率論]]和[[統計學]]中衡量[[實數]][[隨機變數]][[概率分布]]的不對稱性。偏度的值可以為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態；左偏）就意味着在[[概率密度函數]]左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數在內<ref name="Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule">{{Cite web |url=http://jse.amstat.org/v13n2/vonhippel.html |title=存档副本 |accessdate=2018-12-14 |archive-date=2020-11-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201112020154/http://jse.amstat.org/v13n2/vonhippel.html |dead-url=no }}</ref>）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態；右偏）就意味着在概率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數<ref name="Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule"/>）位於平均值的左側。偏度為零就表示數值相對均勻地分布在平均值的兩側，但不一定意味着其為對稱分布。

[[Image:Negative_and_positive_skew_diagrams_(English).svg|thumb|right|400px|負偏態（左）和正偏態（右）]]

==介紹==
偏度分為兩種：
*'''負偏態'''或'''左偏態'''：左側的尾部更長，分布的主體集中在右側。<ref name="cnx.org">{{Cite web |url=http://cnx.org/content/m17104/latest/ |title=存档副本 |accessdate=2010-10-30 |archive-date=2011-08-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110811191915/http://cnx.org/content/m17104/latest/ |dead-url=no }}</ref>。
*'''正偏態'''或'''右偏態'''：右側的尾部更長，分布的主體集中在左側。<ref name="cnx.org"/>。 

如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麽平均值=中位數=眾數）。

==定義==
隨機變量<math>X</math>的偏度<math>\gamma_1</math>為三階[[標準矩]]，可被定義為：
: <math>
    \gamma_1 = \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] 
             = \frac{\mu_3}{\sigma^3} 
             = \frac{\operatorname{E}\big[(X-\mu)^3\big]}{\ \ \ ( \operatorname{E}\big[ (X-\mu)^2 \big] )^{3/2}}
             = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}\ , 
  </math>
其中<math>\mu_3</math>是三階[[主動差]]，<math>\sigma</math>是[[標準差]]。<math>E</math>是[[期望值|期望算子]]。等式的最後以三階[[累積量]]與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。

偏度有時用<math>\mathrm{Skew}[X]</math>來表示。老教科書過去常常用<math>\sqrt{\beta_1}</math>來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。

對上面的等式進行擴展可導出用非中心矩E[''X''<sup>3</sup>]來表示偏度的公式：
: <math>
    \gamma_1 
     = \operatorname{E}\bigg[\Big(\frac{X-\mu}{\sigma}\Big)^{\!3} \,\bigg] 
     = \frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\operatorname E[X^2] + 2 \mu^3}{\sigma^3}
     = \frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}\ . 
  </math>

==樣本偏度==
具有<math>n</math>個值的[[樣本 (統計學)|樣本]]的'''樣本偏度'''為：
: <math>
    g_1 = \frac{m_3}{{m_2}^{3/2}} 
        = \frac{\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^3}{\left(\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2\right)^{3/2}}\ ,
  </math>
其中<math>\overline{x}</math>是[[樣本平均值]]，<math>m_3</math>是三階樣本中心矩，<math>m_2</math>是二階樣本中心距，即[[樣本方差]]。

===性質===
當：
<math>\Pr \left[ X > x \right]=x^{-3}\mbox{ for }x>1,\ \Pr[X<1]=0</math> 時，偏度可以是無窮大的。

或者當：
<math>\Pr[X<x]=\frac{(1-x)^{-3}}{2}</math>（<math>x</math>為負）及

<math>\Pr[X>x]=\frac{(1+x)^{-3}}{2}</math>（<math>x</math>為正）時，偏度無法定義。

在後面的這個例子中，三階累積量是無法定義的。
其他分布形式比如：

:<math>\Pr \left[ X > x \right]=x^{-2}\mbox{ for }x>1,\ \Pr[X<1]=0</math>

二階和三階累積量是無窮大的，所以偏度也是無法定義的。

如果假定<math>Y</math>為<math>n</math>個獨立變量之和並且這些變量和<math>X</math>具有相同的分布，那麽''<math>Y</math>''的三階累積量是''<math>X</math>''的''<math>n</math>''倍，''<math>Y</math>''的二階累積量也是''<math>X</math>''的''<math>n</math>''倍，所以：
<math>\mbox{Skew}[Y] = \frac{\mbox{Skew}[X]}{\sqrt{n}}</math>。根據[[中心极限定理]]，當其接近[[正態分布|高斯分布]]時變量之和的偏度減小。

==參見==
*[[峰度]]
*[[主動差]]

==註釋==
{{Reflist}}

==參考資料==
*{{Cite journal | doi = 10.2307/2987742 | last1 = Groeneveld | first1 = RA | last2 = Meeden | first2 = G. | year = 1984 | title = Measuring Skewness and Kurtosis | url = http://jstor.org/stable/2987742 | journal = The Statistician | volume = 33 | issue = 4 | pages = 391–399 | access-date = 2010-10-30 | archive-date = 2020-08-20 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200820104944/https://www.jstor.org/stable/2987742 | dead-url = no }}
*Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) ''Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition'' Wiley ISBN 0-471-58495-9
*{{Cite journal | last1 = MacGillivray | first1 = HL | year = 1992 | title = Shape properties of the g- and h- and Johnson families | url = | journal = Comm. Statistics - Theory and Methods | volume = 21 | issue = | pages = 1244–1250 }}

{{統計學}}
{{概率分布理论}}

[[Category:统计偏差和离散度]]