查看“︁偏导数”︁的源代码

{{redirect2|偏微分|含有未知函数及其偏导数的方程|偏微分方程}}
{{微積分學}}
{{noteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:偏导数; zh-hk:偏導數; zh-tw:偏微分;
|2=zh-cn:全导数; zh-hk:全導數; zh-tw:全微分;
}}
在[[数学]]中，'''偏导数'''（{{lang-en|partial derivative}}）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（[[導數]]）[[微分]]，而保持其他变量恒定{{notetag|相对于[[全导数]]，在其中所有变量都允许变化}}。

偏导数的作用与价值在[[向量分析]]和[[微分几何]]以及[[机器学习]]领域中受到广泛认可。

函数<math>f</math>关于变量<math>x</math>的偏导数写为<math>f_x^{\prime}</math>或<math>\frac{\partial f}{\partial x}</math>。'''[[偏导数符号]]'''<math>\partial</math>是全导数符号<math> d</math>的变体，由[[阿德里安-马里·勒让德]]引入，并在[[雅可比]]的重新引入后得到普遍接受。

== 简介 ==
{{Multiple image
 | width = 300
 | direction = vertical
 | image1 = 3d graph x2+xy+y2.png
 | caption1 = {{Math|1=''f'' = ''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup>}}的图像。我们希望求出函数在点{{Math|(1, 1)}}的对{{Mvar|x}}的偏导数；对应的切线与{{Mvar|xOz}}平面平行。
 | image2 = X2+x+1.png
 | caption2 = 这是上图中{{Math|1=''y'' = 1}}时的图像片段。
}}

假设ƒ是一个多元函数。例如：
: <math> z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2</math>

因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的[[导数]]相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。通常，最感兴趣的是垂直于{{Mvar|y}}轴（平行于{{Mvar|xOz}}平面）的切线，以及垂直于{{Mvar|x}}轴（平行于{{Mvar|yOz}}平面）的切线。

一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如，欲求出以上的函数在点{{Math|(1, 1)}}的与{{Mvar|xOz}}平面平行的切线。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面{{Math|1=''y'' = 1}}上是什么样的。我们把变量{{Mvar|y}}视为常数，通过对方程求导，我们可以发现{{Mvar|f}}在点{{Math|(''x'', ''y'')}}的导数，记为：

:<math>\frac{\partial f}{\partial x} = 2x+y</math>

于是在点{{Math|(1, 1)}}的{{Mvar|xOz}}平面平行的切线的斜率是3。

: <math>\frac{\partial f}{\partial x} = 3</math>

在点{{Math|(1, 1)}}，或称“{{Mvar|f}}在{{Math|(1, 1)}}的关于{{Mvar|x}}的偏导数是3”。

== 定义 ==
函数{{Mvar|f}}可以解释为{{Mvar|y}}为自变量而{{Mvar|x}}为常数的函数：

: <math>f(x,y) = f_x(y) = \,\! x^2 + xy + y^2</math>。

也就是说，每一个{{Mvar|x}}的值定义了一个函数，记为{{Mvar|f<sub>x</sub>}}，它是一个一元函数。也就是说：

: <math>f_x(y) = x^2 + xy + y^2</math>。

一旦选择了一个{{Mvar|x}}的值，例如{{Mvar|a}}，那么{{Math|''f''(''a'',''y'')}}便定义了一个函数{{Mvar|f<sub>a</sub>}}，把{{Mvar|y}}映射到{{Math|''a''<sup>2</sup> + ''ay'' + ''y''<sup>2</sup>}}：

: <math>f_a(y) = a^2 + ay + y^2</math>。

在这个表达式中，{{Mvar|a}}是'''常数'''，而不是'''变量'''，因此{{Mvar|f<sub>a</sub>}}是只有一个变量的函数，这个变量是{{Mvar|y}}。这样，便可以使用一元函数的导数的定义：

: <math>f_a'(y)= a + 2y</math>

以上的步骤适用于任何{{Mvar|a}}的选择。把这些导数合并起来，便得到了一个函数，它描述了{{Mvar|f}}在{{Mvar|y}}方向上的变化：

: <math>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x + 2y</math>

这就是{{Mvar|f}}关于{{Mvar|y}}的偏导数，在这裡，∂是一个弯曲的''d''，称为'''[[偏导数符号]]'''。为了把它与字母''d''区分，∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。

一般地，函数{{Math|''f''(''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>)}}在点{{Math|(''a''<sub>1</sub>,...,''a<sub>n</sub>'')}}关于{{Mvar|x<sub>i</sub>}}的偏导数定义为：

: <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{h}</math>

在以上的差商中，除了{{Mvar|x<sub>i</sub>}}以外的所有变量都是固定的。这个固定值的选择决定了一个一元函数<math>f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n)</math>，根据定义，

: <math>\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n)</math>

这个表达式说明了偏导数的计算可以化为一元导数的计算。

多变量函数的一个重要的例子，是欧几里德空间{{Math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}（例如{{Math|'''R'''<sup>2</sup>或'''R'''<sup>3</sup>}}）上的[[标量值函数]]{{Math|''f''(''x''<sub>1</sub>,...''x''<sub>''n''</sub>)}}。在这种情况下，{{Mvar|f}}关于每一个变量{{Mvar|x<sub>j</sub>}}具有-{}-偏导数{{Math|∂''f''/∂''x''<sub>''j''</sub>}}。在点{{Mvar|a}}，这些偏导数定义了一个向量：

:<math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)</math>

这个向量称为{{Mvar|f}}在点{{Mvar|a}}的'''[[梯度]]'''。如果{{Mvar|f}}在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数{{Math|∇''f''}}，它把点{{Mvar|a}}映射到向量{{Math|∇''f''(''a'')}}。这样，梯度便决定了一个[[向量场]]。

一个常见的[[符号滥用]]是在[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>3</sup>中用[[单位向量]] <math>\mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}</math>来定义[[Nabla算子]] (∇) 如下:
:<math>\nabla = \bigg[{\frac{\partial}{\partial x}} \bigg] \mathbf{\hat{i}} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial y}}\bigg] \mathbf{\hat{j}} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial z}}\bigg] \mathbf{\hat{k}}</math>
或者，更一般地，对于''n''维欧几里得空间'''R'''<sup>''n''</sup> 的坐标(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>,...,x<sub>''n''</sub>)和单位向量(<math>\mathbf{\hat{e}_1}, \mathbf{\hat{e}_2}, \mathbf{\hat{e}_3}, \dots , \mathbf{\hat{e}_n}</math>):
:<math>\nabla = \sum_{j=1}^n \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_j}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_j} = \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_1}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_1} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_2}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_2} + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_3}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_3} + \dots + \bigg[{\frac{\partial}{\partial x_n}}\bigg] \mathbf{\hat{e}_n}</math>

== 例子 ==
[[File:Cone 3d.png|thumb|圆锥的体积与它的高度和半径有关]]

考虑一个[[圆锥]]的[[体积]]{{Mvar|V}}；它与[[高度]]{{Mvar|h}}和[[半径]]{{Mvar|r}}有以下的关系：
: <math>V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}</math>。

{{Mvar|V}}关于{{Mvar|r}}的偏导数为：
: <math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3}</math>，它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。

{{Mvar|V}}关于{{Mvar|h}}的偏导数为：
: <math>\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3}</math>，它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。

现在考虑{{Mvar|V}}关于{{Mvar|r}}和{{Mvar|h}}的[[全导数]]。它们分别是：
: <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial r}</math>

以及
: <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial h}</math>

现在假设，由于某些原因，高度和半径的比{{Mvar|k}}需要是固定的：
: <math>k = \frac{h}{r} = \frac{\partial h}{\partial r}</math>

这便给出了关于{{Mvar|r}}的全导数：
: <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + k\frac{\pi r^2}{3}</math>

可以化简为：
: <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = k\pi r^2</math>

类似地，关于{{Mvar|h}}的全导数是：
: <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \pi r^2</math>

含有未知函数的偏导数的方程，称为[[偏微分方程]]，它在[[物理学]]、[[工程学]]，以及其它应用[[科学]]中经常会见到。

与关于{{Mvar|r}}和{{Mvar|h}}二者相关的全导数是由[[雅可比矩阵]]给出的，它的形式为[[梯度]]向量<math>\nabla V =(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}) = (\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2)</math>。

== 记法 ==
在以下的例子中，设{{Mvar|f}}为{{Mvar|x}}、{{Mvar|y}}和{{Mvar|z}}的函数。

{{Mvar|f}}的一阶偏导数为：

: <math>\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f</math>

二阶偏导数为：

: <math>\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f</math>

二阶[[混合偏导数]]为：

: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = f_{xy} = \partial_{yx} f</math>

高阶偏导数为：

: <math>\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}</math>

当处理多变量函数时，有些[[变量]]可能互相有关，这样就需要明确指定哪些变量是固定的。在诸如[[统计力学]]的领域中，{{Mvar|f}}关于{{Mvar|x}}的偏导数，把{{Mvar|y}}和{{Mvar|z}}视为常数，通常记为：

: <math>\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}</math>

== 正式定义和性质 ==
像导数一样，偏导数也是定义为一个[[极限]]。设{{Mvar|U}}为{{Math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}的一个[[开集|开子集]]，{{Math|''f'' : ''U'' → '''R'''}}是一个函数。我们定义{{Mvar|f}}在点{{Math|1='''''a''''' = (''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>) ∈ ''U''}}关于第{{Mvar|i}}个变量{{Mvar|x<sub>i</sub>}}的偏导数为：

: <math>\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) -
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }</math>

即使在某个给定的点{{Mvar|a}}，所有的偏导数{{Math|∂''f''/∂''x''<sub>''i''</sub>(''a'')}}都存在，函数仍然不一定在该点[[连续函数|连续]]。然而，如果所有的偏导数在{{Mvar|a}}的一个[[邻域]]内存在并连续，那么{{Mvar|f}}在该邻域内[[全导数|完全可微分]]，且全导数是连续的。在这种情况下，我们称{{Mvar|f}}是一个C<sup>1</sup>函数。

偏导数<math>\frac{\partial f}{\partial x}</math>可以视为定义在''U''内的另外一个函数，并可以再次求偏导数。如果所有的混合二阶偏导数在某个点（或集合）连续，我们便称{{Mvar|f}}为在该点（或集合）的一个C<sup>2</sup>函数；在这种情况下，根据[[二阶导数的对称性#克莱罗定理|克莱罗定理]]，偏导数可以互相交换：

: <math>\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}</math>。

== 参考文献 ==
* {{cite book |author=George B. Thomas & Ross L. Finney |title = Calculus and Analytic Geometry |year=1994 |publisher=Addison-Wesley Publishing Company, Inc. |ISBN = 0-201-52929-7 |pages = 833-840 }}

==注释==
{{notefoot}}

== 参见 ==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
*[[达朗贝尔算子]]
*[[复合函数求导法则]]
*[[旋度]]
*[[方向導數]]
*[[散度]]
*[[外导数]]
*[[梯度]]
*[[雅可比矩阵]]
*[[拉普拉斯算子]]
*[[二階導數的對稱性]]
*[[三乘积法则]]，又称为循环链式法则。
</div>

[[Category:多变量微积分]]
[[Category:导数的推广]]
[[Category:微分算子]]