查看“︁值域”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{not|到达域}}
{{无来源|time=2022-4-23}}
在[[数学]]中，函数的'''值域'''（{{Lang-en|Range}}）是由[[定义域]]中一切[[元素 (數學)|元素]]所能產生的所有[[函數值]]的[[集合 (数学)|集合]]。有时候也称为函数的[[像 (數學)|像]]。

给定函数<math>f: A\rightarrow B</math>，集合<math>f(A)</math>被称为是<math>f</math>的'''值域'''，记为<math>R_{f}</math>。值域不应跟[[陪域]]<math>B</math>相混淆。一般来说，值域只是陪域的一个[[子集]]。

== 例子 ==
假设函数<math>f</math>为定义在[[实数]]上的函数：
:<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>

定义为
:<math>f:x\mapsto x^2</math>

<math>f</math>的陪域为<math>\mathbb{R}</math>，但明顯地<math>f(x)</math>不會取到负[[数值]]，因此，事实上值域只是非负实数集合<math>\mathbb{R}^+\cup\{0\}</math>，即[[区间]]<math>[0,\infty)</math>：
:<math>0\leq f(x)<\infty</math>。

== 求法 ==
{{擴充章節}}
=== 基本方法 ===
初等函数的值域求法一般为：
# 观察法
# 不等式法
# 反函数法
# 复合函数法
# 配方法
# 判别式法
# 图像求值

====观察法====
例如：<math>y=3-\sqrt{x}</math>

由<math>\sqrt{x}\ge 0</math>

<math>\Rightarrow -\sqrt{x} \le 0</math>

所以值域为<math>(-\infty, 3]</math>。

====不等式法====
====反函数法====
先求得所要计算的函数的反函数，则反函数的定义域即为原函数的值域。

例如：<math>y=\sqrt[3]{x}</math>

它的反函数为<math>x=y^3</math>

反函数的定义域为：<math>(-\infty, +\infty)</math>

则原函数<math>y=\sqrt[3]{x}</math>的值域为：<math>(-\infty, +\infty)</math>

====复合函数法====

====配方法====
{{main|配方法}}

====判别式法====
====图像求值====
画出[[連續函数]]的图像，则函数图像纵轴的最小值和最大值（若有）组成的区间即为函数的值域。

==相关条目==
* [[陪域]]
* [[定义域]]
* [[单射]]
* [[满射]]
* [[双射]]

[[Category:集合論基本概念|Z]]
[[Category:函数]]